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Vidéo de question : Évaluer le quotient des combinaisons Mathématiques

Calculez ₇𝐶₂/₈𝐶₆.

02:30

Transcription de vidéo

Calculez sept 𝐶 deux divisé par huit 𝐶 six.

Dans ce problème, on nous donne le quotient de deux combinaisons. Nous rappelons que la combinaison 𝑛𝐶𝑘 représente le nombre de façons différentes de sélectionner 𝑘 objets d’un total de 𝑛 objets distincts. Lorsqu’il s’agit de combinaisons, l’ordre n’a pas d’importance.

Pour évaluer cette expression, commençons par rappeler la formule des combinaisons. 𝑛𝐶𝑘 égale factorielle 𝑛 divisée par factorielle 𝑛 moins 𝑘 multipliée par factorielle 𝑘. Pour résoudre ce problème, nous allons évaluer chaque combinaison séparément, puis diviser leurs valeurs.

Commençons par sept 𝐶 deux. Dans ce cas, 𝑛 égale sept et 𝑘 égale deux. Nous devons faire attention à ne pas confondre la valeur 𝑛 et la valeur 𝑘 dans nos calculs. Sept 𝐶 deux est donc égal à factorielle sept divisée par factorielle sept moins deux multipliée par factorielle deux. Le dénominateur devient factorielle cinq multiplié par factorielle deux. Nous pouvons réécrire le numérateur comme sept multiplié par six multiplié par factorielle cinq. Ensuite, en divisant le numérateur et le dénominateur par factorielle cinq, on obtient sept multiplié par six divisé par factorielle deux. Ensuite, on écrit factorielle deux comme deux multiplié par un. Cela nous donne 42 divisé par deux, soit 21.

Maintenant, nous allons évaluer la combinaison dans le dénominateur de l’expression donnée, qui a 𝑛 égal à huit et 𝑘 égal à six. Huit 𝐶 six est donc égal à factorielle huit divisée par factorielle huit moins six multipliée par factorielle six. Le dénominateur devient factorielle deux multipliée par factorielle six. Ensuite, on peut écrire factorielle huit comme huit multiplié par sept multiplié par factorielle six. Cela nous permet de diviser le numérateur et le dénominateur par factorielle six, ce qui nous donne huit multiplié par sept divisé par factorielle deux. On obtient une valeur finale de 28 en prenant le produit de huit et sept divisé par le produit de deux et un.

Pour évaluer le quotient initial, il ne reste plus qu’à simplifier la fraction 21 sur 28. Nous obtenons un résultat final de trois quarts en divisant le numérateur et le dénominateur par sept. Nous avons montré que la valeur de sept 𝐶 deux divisé par huit 𝐶 six est de trois quarts.

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