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Vidéo question :: Équilibre statique avec frottement Mathématiques • Troisième secondaire

Quand un corps de poids 262,5 N s’appuyait sur un plan rugueux incliné à l’horizontale selon un angle de tangente égale à 3/4, il était sur le point de bouger. Le même corps a ensuite été placé sur une surface horizontale de la même rugosité. Une force 𝐹 a agi sur le corps en tirant vers le haut selon un angle 𝜃 par rapport à l’horizontale ou sin 𝜃 = 3/5. Étant donné que, dans ces conditions, le corps était sur le point de bouger, déterminez l’intensité de 𝐹 et la réaction normale 𝑅.

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Transcription de la vidéo

Quand un corps de poids 262,5 newtons s’appuyait sur un plan rugueux incliné à l’horizontale selon un angle de tangente égale à trois quarts, il était sur le point de bouger. Le même corps a ensuite été placé sur une surface horizontale de même rugosité. Une force 𝐹 a agi sur le corps en tirant vers le haut selon un angle de 𝜃 par rapport à l’horizontale, où le sinus de 𝜃 est égal aux trois cinquièmes. Étant donné que dans ces conditions, le corps était sur le point de bouger, déterminez l’intensité de 𝐹 et la réaction normale 𝑅.

Commençons par organiser les informations qui nous ont été fournies. Le corps a un poids de 262,5 newtons. Et bien sûr, cela ne doit pas être confondu avec la masse de l’objet. Le poids est essentiellement la force vers le bas que le corps exerce sur le plan. Au départ, le corps est au repos sur un plan rugueux, ce qui nous dit que nous devons considérer la force de frottement. Et ce plan est incliné par rapport à l’horizontale selon un angle dont la tangente est de trois quarts. Appelons cet angle 𝛼 de sorte que la tangente de 𝛼 soit de trois quarts. Et on nous dit à ce stade que le corps est sur le point de bouger.

Alors ajoutons le corps à notre schéma et ajoutons les forces qui agissent sur le corps. Nous avons dit que la force vers le bas que le corps exerce sur le plan est de 262,5 newtons. Il doit y avoir une force de réaction normale du plan sur le corps. Appelons cela 𝑅. Maintenant, nous savons que le corps est sur le point de bouger. Il n’y a pas d’autres forces, donc nous supposons que le corps est à l’imminence de glisser vers le bas de la pente. Ce qui l’empêche de glisser sur le plan, c’est la force de frottement. Et ceci agit dans la direction opposée à laquelle le corps essaie de se déplacer. Donc il agit vers le haut et parallèle au plan incliné, comme indiqué dans le schéma. On nous dit ensuite que le corps est placé sur une surface horizontale de même rugosité.

Alors comment peut-on mesurer la rugosité ? La mesure de la rugosité est le coefficient de frottement, que nous avons défini comme 𝜇. Puis ce que nous allons commencer à faire c’est regarder la première situation où le corps est au repos sur le plan incliné et voir si nous pouvons déterminer la valeur de 𝜇. Eh bien pour ce faire, nous allons utiliser l’équation qui décrit le frottement. C’est la force de frottement est égale à 𝜇𝑅, où 𝑅 est la force de réaction normale et nous avons vu que 𝜇 est le coefficient de frottement. Ensuite, puisque le corps est sur le point de bouger, nous pouvons dire que la somme vectorielle des forces doit être égale à zéro. Mais alors nous pouvons décomposer ces forces en leurs composantes parallèles et perpendiculaires par rapport au plan.

Commençons par réfléchir sur les forces qui agissent perpendiculairement au plan. Vu que l’on a des frottements, c’est un bon point de départ car ceci nous aide à déterminer la valeur de 𝑅. Nous avons 𝑅 agissant vers le haut et perpendiculairement au plan. Mais quelle force agit vers le bas et perpendiculaire au plan ? Eh bien, c’est une des composantes du poids. Et donc nous dessinons un petit triangle rectangle, comme indiqué. L’angle inclus ici est bien 𝛼. Nous voulons trouver le côté adjacent dans ce triangle car il est perpendiculaire au plan. Et en effet, nous savons que l’hypoténuse mesure 262,5 newtons. Et donc nous allons utiliser le rapport cosinus. N’oubliez pas, que ceci relie l’angle, le côté adjacent et l’hypoténuse.

Puisque le cosinus de 𝜃 est le côté adjacent sur l’hypoténuse, ici nous pouvons dire que cosinus de 𝛼 est le côté inconnu divisé par 262,5. Mais quel est le cosinus de 𝛼 ? Eh bien, nous savons que la tangente de 𝛼 est égale aux trois quarts. Et bien sûr, la tangente est définie comme le côté opposé divisé par le côté adjacent. Nous pouvons donc dessiner un triangle rectangle avec un angle inclus de 𝛼, un côté opposé de trois unités, et un côté adjacent qui vaut quatre. Ensuite par le triplet de Pythagore, l’autre côté doit être cinq unités. Et donc nous pouvons remplacer cosinus de 𝛼 par quatre cinquièmes. Définissons également le côté du triangle que nous essayons de trouver comme 𝑥. Et nous allons maintenant résoudre cette équation pour 𝑥. Pour ce faire, nous avons multiplié les deux membres de cette équation par 262,5. Et donc 𝑥 est égal à 210 ou 210 newtons.

En résolvant les forces perpendiculaires au plan incliné et en prenant en compte que la direction dans laquelle la force de réaction agit est positive, la somme vectorielle résultante des forces agissant perpendiculairement au plan est 𝑅 moins 210. Et bien sûr, nous savons que ceci est égal à zéro. Si nous ajoutons 210 aux deux membres, nous obtenons 𝑅 est égal à 210 ou 210 newtons. Maintenant nous devons être attentif au fait que la force de réaction normale 𝑅 va changer lorsque le corps sera sur une surface horizontale. Ce n’est que notre étape intermédiaire. Alors, ce que nous allons faire c’est étudier les forces qui agissent parallèlement au plan pour calculer la valeur de 𝜇. Nous avons le frottement agissant vers le haut du plan incliné puis nous devons considérer la composante du poids qui agit parallèlement au plan. Alors c’est le côté opposé dans ce triangle rectangle que nous avons dessiné. Et j’ai étiqueté cela comme 𝑦.

Puisque 𝑦 est le côté opposé, cette fois, nous allons utiliser le rapport sinus. Le sinus est le côté opposé sur l’hypoténuse. Donc sinus 𝛼 ici est 𝑦 sur 262,5. Mais bien sûr, encore une fois, nous pouvons utiliser notre triangle rectangle pour remplacer sinus de 𝛼. Cette fois, si nous regardons ce triangle que nous avons dessiné, nous obtenons que sinus de 𝛼 égal à trois cinquièmes. Notre équation est trois cinquièmes égale 𝑦 sur 262,5. Nous allons maintenant multiplier tout par 262,5. Et quand nous le faisons, nous obtenons 𝑦 est 262,5 fois les trois cinquièmes, soit 157,5 newtons. Ceci agit dans le sens inverse de la force de frottement. Ainsi la résultante des forces parallèles au plan est la force de frottement moins 157,5. Et bien sûr, ceci est égal à zéro.

Mais rappelez-vous, nous avons dit que la force de frottement est égale à 𝜇𝑅. Et nous venons de calculer la force de réaction normale qui vaut 210. Donc nous pouvons remplacer le frottement par 𝜇 fois 210 ou 210𝜇. Et nous obtenons 210𝜇 moins 157,5 est égal à zéro. Pour résoudre cette équation, nous commençons à ajouter 157,5 aux deux membres. Et ensuite, nous allons diviser par 210. 157,5 divisé par 210 est trois quarts. Nous trouvons donc le coefficient de frottement du plan est égal à trois quarts. Et c’est génial car nous attendons généralement à une valeur comprise entre zéro et un pour 𝜇. Puisque nous connaissons la rugosité du plan, nous allons libérer de l’espace et examiner la deuxième partie de cette question.

Cette fois, le corps est sur une surface horizontale. Mais la force poids vers le bas sur le plan est exactement la même. Nous avons maintenant une force 𝐹 agissant sur le corps, et elle le tire vers le haut selon un angle de 𝜃. On nous dit, en fait, que le sinus de 𝜃 est égal aux trois cinquièmes. Nous avons vu précédemment que dans ce cas-là, le cosinus de 𝜃 est quatre cinquièmes. Ceci sera utile dans un instant. Revenons donc à l’objet sur le plan. Il y a une autre force que nous devons considérer. Et encore une fois, c’est la réaction normale 𝑅. Maintenant, j’ai utilisé la même lettre 𝑅. Mais ceci ne doit pas être confondu avec la force de réaction que nous avons vue plus tôt. Tout d’abord nous allons maintenant indiquer à nouveau clairement les forces perpendiculaires au plan.

Nous avons la force de réaction agissant vers le haut. Prenons cela comme la direction positive. Ensuite dans la direction opposée, nous avons 262,5 newtons. Donc nous allons soustraire cela. Nous allons devoir considérer la composante de 𝐹 qui agit perpendiculairement au plan. Ajoutons donc ce triangle rectangle. Puisque nous cherchons à trouver le côté opposé, appelons cela 𝑥. Et nous avons déjà une expression pour l’hypoténuse. Nous allons utiliser le rapport sinus. Cette fois, nous avons sinus de 𝜃 égal à 𝑥 sur 𝐹. Mais bien sûr, nous savons que sinus 𝜃 est égal à trois cinquièmes. Nous obtenons alors trois cinquièmes est égal à 𝑥 sur 𝐹, ce qui signifie que la composante de la force 𝐹 qui agit perpendiculairement au plan est trois cinquièmes fois 𝐹.

Nous allons ajouter ceci à notre expression parce que nous avons dit que c’était la direction positive. En plus nous savons que le corps est sur le point de bouger. Donc la somme vectorielle de ces forces est nulle. Nous pouvons en fait réorganiser l’équation pour calculer 𝑅. Nous pourrions la laisser telle quelle, mais cette réorganisation nous sera utile dans un instant. Nous allons maintenant considérer les forces parallèles au plan . Nous avons 𝐹, la force agissant sur le corps, le tirant vers le haut, dans une direction. Mais bien sûr, nous savons que c’est un plan rugueux. Donc il y a la force de frottement, c’est-à-dire 𝜇𝑅. Alors trouvons le côté adjacent de ce triangle pour trouver la composante de 𝐹 qui est parallèle au plan. Et puisque nous avons le côté adjacent et nous avons une expression pour l’hypoténuse, nous allons utiliser le rapport cosinus.

Nous obtenons cosinus 𝜃 est égal à 𝑦 sur 𝐹 puis nous remplaçons cosinus 𝜃 par quatre cinquièmes. Et si nous multiplions les deux membres de cette équation par 𝐹, nous trouvons que la composante de cette force qui agit parallèlement au plan est quatre cinquièmes de 𝐹. Prenons cela comme la direction positive, puis nous allons soustraire la force de frottement. Et bien sûr, ceci est égal à zéro. Maintenant, nous essayons de trouver l’intensité de 𝐹 et la réaction normale 𝑅. Donc ce que nous allons faire c’est remplacer 𝑅 dans notre nouvelle équation par cette expression, 262,5 moins trois cinquièmes de 𝐹. Cela nous donnera une équation purement en fonction de 𝐹.

En même temps, nous remplaçons 𝜇 par trois quarts, c’est le coefficient de frottement que nous avons calculé plus tôt, et notre équation devient quatre cinquièmes de 𝐹 moins trois quarts fois 260,5 moins trois cinquièmes de 𝐹 égale zéro. Lorsque nous éliminons ces parenthèses, ceci se simplifie en cinq quarts de 𝐹 moins 196,875 égale zéro. Et alors nous ajoutons 196,875 aux deux membres. Et finalement, nous allons diviser par cinq quarts. Et cela nous donne 157,5 ou 157,5 newtons.

Et super ! Nous connaissons la valeur de 𝐹, et alors nous pouvons utiliser ceci pour trouver la réaction normale 𝑅. Nous allons remplacer ceci dans cette équation précédente. Lorsque nous le faisons, nous obtenons 𝑅 est 262,5 moins trois cinquièmes fois 157,5, soit 168 ou 168 newtons. Et c’est terminé. L’intensité de 𝐹 est de 157,5 newtons et la réaction normale 𝑅 est de 168 newtons.

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