Vidéo : Déterminer l’intégrale d’une fonction rationnelle à l’aide d’un changement de variable

Détermine ∫((𝑥² + 7)/(𝑥³ + 21𝑥 − 5))𝑑𝑥.

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Transcription de vidéo

Déterminer l’intégrale indéfinie de 𝑥 carré plus sept sur 𝑥 au cube plus 21𝑥 moins cinq par rapport à 𝑥.

Afin de résoudre ce problème, nous utiliserons l’intégration par changement de variable. Nous pouvons le détecter si nous prenons notre dénominateur et l’appelons 𝑔 de 𝑥. Nous avons donc 𝑔 de 𝑥 est égal à 𝑥 au cube plus 21𝑥 moins cinq.

Maintenant, nous différencions cela pour trouver 𝑔 prime de 𝑥. En dérivant le 𝑥 au cube, on obtient trois 𝑥 carré. En dérivant 21𝑥, on obtient 21 et moins cinq pour donner zéro. Donc 𝑔 prime de 𝑥 est égal à trois 𝑥 carré plus 21, que nous pouvons aussi écrire trois fois par 𝑥 carré plus sept puisque nous ne tenons compte que le trois. Et à ce stade, nous remarquons que nous avons une constante qui est trois multipliée par le numérateur de notre fraction dans l’intégrale.

Maintenant, nous pouvons réorganiser ceci pour écrire que 𝑥 carré plus sept est égal à un tiers de 𝑔 prime de 𝑥. Nous pouvons donc écrire notre intégrale comme étant un tiers multiplié par 𝑔 prime de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Et comme ce tiers n’est qu’une constante, nous pouvons l’exclure de l’intégrale. Et donc ça nous laisse avec ça.

Maintenant, notre intégrale est de la forme : l’intégrale de 𝐹 de 𝑔 de 𝑥 fois 𝑔 prime de 𝑥 par rapport à 𝑥, où dans notre cas le 𝐹 est 𝐹 de 𝑔 de 𝑥 est égal à un sur 𝑔 de 𝑥. Alors maintenant, notre intégrale est de cette forme, nous pouvons utiliser ce que l’on appelle un changement de variable par 𝑢. Et dans ce changement, nous allons laisser 𝑢 égal 𝑔 de 𝑥.

Il va maintenant falloir trouver 𝑑𝑢 en fonction de 𝑑𝑥. Nous pouvons utiliser le fait que 𝑑𝑢 est égal à 𝑑𝑢 par 𝑑𝑥 fois 𝑑𝑥. Or, puisque 𝑢 est égal à 𝑔 de 𝑥, 𝑑𝑢 𝑑𝑥 est donc égal à 𝑔 prime de 𝑥. Et nous obtenons donc 𝑑𝑢 est égal à 𝑔 prime de 𝑥 fois 𝑑𝑥.

Nous pouvons réécrire notre intégrale d’un tiers de l’intégrale fois 𝑔 prime de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 𝑑𝑥 comme étant un tiers de l’intégrale de un sur 𝑔 de 𝑥 fois 𝑔 prime de 𝑥 par rapport à 𝑥. Et maintenant, nous remarquons que nous avons 𝑔 prime de 𝑥 fois 𝑑 de 𝑥, ce qui est identique à 𝑑𝑢 de 𝑥.

Nous sommes donc prêts à effectuer la substitution, en nous rappelant que 𝑢 est égal à 𝑔 de 𝑥 et 𝑑𝑢 est égal à 𝑔 prime fois 𝑑 de 𝑥. Nous obtenons donc que cela est égal à un tiers de l’intégrale de un sur 𝑢 𝑑𝑢. Maintenant, tout ce que nous avons à faire est de calculer un tiers de l’intégrale de un sur 𝑢 𝑑𝑢. Et nous obtenons que cela est égal à un tiers du logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑢. Comme il s’agissait d’une intégrale indéfinie, il ne faut pas oublier d’ajouter la constante d’intégration. Nous avons donc plus 𝑐 à la fin.

Ensuite, nous pouvons effectuer l’inverse de notre changement. Nous avons donc que 𝑢 est égal à 𝑔 de 𝑥. Nous pouvons donc y substituer cette valeur, nous donnant un tiers du logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑔 de 𝑥 plus 𝑐. Et pour notre dernière étape, nous pouvons substituer en retour que 𝑔 de 𝑥 est égal à 𝑥 au cube plus 21𝑥 moins cinq.

Nous obtenons la réponse finale que l’intégrale indéfinie de 𝑥 au carré plus sept sur 𝑥 au cube plus 21𝑥 moins cinq par rapport à 𝑥 est égale à un tiers du logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑥 au cube plus 21𝑥 moins cinq plus 𝑐.

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