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Vidéo question :: Utilisation de la trigonométrie dans un triangle rectangle pour résoudre des problèmes impliquant des angles d’élévation Mathématiques • Première secondaire

Une personne placée à 8,78 km d'une colline observe son sommet et estime son angle d'élévation à 53°. Déterminez la distance entre le sommet de la colline et l'observateur au mètre près.

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Transcription de la vidéo

Une personne est placée à 8,78 km d'une colline. Elle observe son sommet et estime son angle d'élévation à 53 degrés. Déterminez la distance entre le sommet de la colline et l'observateur au mètre près.

Il est toujours bon de commencer une question comme celle-ci avec un diagramme. Nous avons donc d’abord notre montagne, qui mesure 8,78 kilomètres de haut. On nous dit alors que l’angle d’élévation du sommet de la montagne à partir d’un observateur est de 53 degrés.

Maintenant, un angle d’élévation est un angle mesuré de l’horizontale à la ligne de vue lorsque nous regardons vers un objet. Donc, sur notre diagramme, c’est cet angle ici. On nous demande ensuite de trouver la distance entre l’observateur et le sommet de la montagne, donc cette distance ici, que j’ai marquée 𝑑.

Nous pouvons voir que ces trois segments - il s’agit de la hauteur verticale de la montagne, du sol horizontal et de la distance entre l’observateur et le sommet de la montagne - forment un triangle rectangle. Nous connaissons la longueur d’un côté dans ce triangle, la mesure de l’un des autres angles. Et nous cherchons à calculer la longueur d’un deuxième côté, ce qui signifie que nous pouvons appliquer la trigonométrie dans ce triangle rectangle à ce problème.

Nous commençons par nommer les trois côtés de ce triangle. Le côté le plus long d’un triangle rectangle, qui est le côté opposé à l’angle droit, est toujours l’hypoténuse. Le côté opposé en diagonale à l’autre angle connu - c’est-à-dire l’angle de 53 degrés - est appelé l’opposé. Et le côté entre l’angle connu et l’angle droit s’appelle le côté adjacent.

Pour nous aider à décider du rapport trigonométrique dont nous avons besoin dans cette question, nous pouvons rappeler l’acronyme SOH CAH TOA, où S, C et T représentent sin, cos et tan et O, A et H signifient opposé, adjacent et hypoténuse. Le côté que nous connaissons est l’opposé, et le côté que nous voulons calculer est l’hypoténuse. Nous allons donc utiliser SOH, qui est le rapport sinus. La définition du rapport sinus est que le sin d’un angle 𝜃 est égal à la longueur du côté opposé divisée par la longueur de l’hypoténuse.

Avant de commencer à substituer dans cette formule, notez cependant que l’on nous a demandé de donner notre réponse au mètre près, alors que la longueur donnée pour l’opposé est en kilomètres. Nous devons d’abord convertir cette mesure. Il y a 1000 mètres par kilomètre. Donc, en multipliant par 1000, nous voyons que 8,78 kilomètres est équivalent à 8780 mètres.

Maintenant, nous pouvons remplacer ceci dans le sinus. Et nous avons que le sin de 53 degrés est égal à 8780 sur 𝑑. Pour résoudre cette équation pour 𝑑, nous devons d’abord le sortir du dénominateur à droite, ce que nous faisons en multipliant les deux côtés de l’équation par 𝑑, donnant 𝑑 sin de 53 degrés est égal à 8780.

Ensuite, nous devons diviser les deux côtés de l’équation par un sin de 53 degrés, ce que nous pouvons faire sans problème car le sin de 53 degrés n’est qu’un nombre. À ce stade, nous pouvons utiliser notre calculatrice pour évaluer cela. Mais nous devons d’abord nous assurer que notre calculatrice est en mode degré. 8780 divisé par le sin de 53 degrés est 10993,75108.

Rappelez-vous, nous devons donner notre réponse au mètre près. Et comme le chiffre décisif - donc dans ce cas, c’est le premier nombre après la virgule - est un sept, nous arrondissons au-dessus. Nous avons alors que la distance entre le point au sol et le sommet de la montagne au mètre près est 10994 mètres.

Rappelez-vous, nous avons converti cette mesure de 8,78 kilomètres en mètres avant d’appliquer la trigonométrie. Cependant, nous aurions pu faire de la trigonométrie en utilisant cette mesure en kilomètres, puis convertir notre réponse en mètres à la fin avant d’arrondir en multipliant par 1000.

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