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Vidéo question :: Déterminer l’équation de la normale à la courbe d’une fonction trigonométrique en un point Mathématiques • Troisième secondaire

Déterminez le coefficient directeur de la normale à la courbe d’équation 𝑦 = -6 cot 𝑥 - 5 sec² 𝑥 + 7 en 𝑥 = 𝜋 / 4.

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Transcription de la vidéo

Déterminez le coefficient directeur de la normale à la courbe d’équation 𝑦 égale moins six cotangente 𝑥 moins cinq sécante au carré de 𝑥 plus sept en 𝑥 égale pi sur quatre.

Rappelez-vous que la normale à la courbe est la droite perpendiculaire à la tangente à la courbe en ce point. Cela signifie que si nous pouvons trouver la pente de la tangente à la courbe au point 𝑥 égale pi sur quatre, nous pouvons alors utiliser cette valeur pour trouver la pente de la normale. Et si deux droites sont perpendiculaires, nous savons que le produit de leurs pentes, 𝑚 indice un fois 𝑚 indice deux, est égal à moins un. Une fois que nous avons la pente de la normale, nous pouvons alors utiliser la formule générale de l’équation d’une droite. Qui est 𝑦 moins 𝑦 indice un égale 𝑚 fois 𝑥 moins indice 𝑥 un, où 𝑚 est la valeur de la pente et 𝑥 indice un, 𝑦 indice un est la coordonnée du point sur cette droite. Alors, comment allons-nous trouver la pente de la tangente à la courbe ?

Eh bien, nous savons que pour trouver la pente de la tangente à la courbe, nous dérivons l’équation de la courbe, puis l’évaluons en ce point. Ainsi, si nous considérons 𝑚 indice un comme la pente de la tangente, nous devons alors dériver 𝑦 par rapport à 𝑥 et l’évaluer en 𝑥 égale pi sur quatre. Nous pouvons dériver terme à terme. Premièrement, nous savons que la dérivée de cotangente 𝑥 par rapport à 𝑥 est moins cosécante au carré de 𝑥. Et la dérivée de sécante au carré de 𝑥 est de deux sécante au carré de 𝑥 fois tangente 𝑥.

Bien sûr, nous pourrions utiliser la règle du produit ou la règle de dérivation en chaîne pour dériver directement. Enfin, si 𝑎 est une constante réelle, alors la dérivée de 𝑎 par rapport à 𝑥 est simplement zéro. Cela nous permet de dériver 𝑦 par rapport à 𝑥 terme à terme. d𝑦 sur d𝑥 est moins six fois moins cosécante au carré de 𝑥 moins cinq fois deux sécante au carré de 𝑥 fois tangente 𝑥 plus zéro. Et cela se simplifie en six cosécante au carré de 𝑥 moins 10 sécante au carré de 𝑥 tangente 𝑥.

Maintenant, pour trouver la pente de la tangente, il suffit de substituer 𝑥 égale pi sur quatre dans cette équation. Cela nous donne six cosécante au carré de pi sur quatre moins 10 sécante au carré de pi sur quatre fois tangente de pi sur quatre. En utilisant l’identité cosécante égale un sur sinus et sécante égale un sur cosinus, nous pouvons réécrire ceci comme six sur sinus carré pi sur quatre moins 10 tangente pi sur quatre sur cosinus carré pi sur quatre. Sinus et cosinus de pi sur quatre valent tous deux racine de deux sur deux, alors que tangente de pi sur quatre vaut un. Nous obtenons donc six sur racine de deux sur deux au carré moins 10 sur racine de deux sur deux au carré. Mais alors, si nous portons au carré la racine carrée de deux sur deux, nous obtenons un demi. Et bien sûr, diviser par un demi revient à multiplier par deux. Nous obtenons donc 12 moins 20, c’est-à-dire moins huit.

Nous connaissons maintenant la pente de la tangente à la courbe au point qui nous intéresse. Nous utiliserons donc le fait que le produit des pentes de la tangente et de la normale vaut moins un pour calculer la pente de la normale à la courbe. Posons la pente de la normale comme étant 𝑚 indice deux, et nous obtenons moins huit fois 𝑚 indice deux égale moins un. Et si nous divisons par moins huit, nous trouvons la pente de la normale. C’est un huitième.

Nous connaissons maintenant la pente et nous connaissons la valeur 𝑥 de la coordonnée du point où cela rencontre la courbe. Nous devons toujours trouver la coordonnée 𝑦. Nous allons donc substituer 𝑥 égale pi sur quatre dans l’équation d’origine. Lorsque nous le faisons, nous obtenons moins six fois cotangente pi sur quatre moins cinq sécante au carré de pi sur quatre plus sept. Nous pouvons penser à cela comme moins six sur tangente de pi sur quatre moins cinq sur cosinus au carré de pi sur quatre plus sept, c’est-à-dire moins neuf.

Donc, nous connaissons maintenant la pente de la normale, un huitième, et nous connaissons les coordonnées 𝑥 et 𝑦 des points où elle rencontre la courbe. Nous substituons tout cela dans l’équation d’une droite. Et nous obtenons 𝑦 moins moins neuf égale un huitième fois 𝑥 moins pi sur quatre. Ensuite, en distribuant les parenthèses, nous obtenons 𝑦 plus neuf égale 𝑥 sur huit moins pi sur 32. Et puis nous allons écrire cela sous la forme égale zéro. Nous soustrayons 𝑥 sur huit des deux côtés, puis ajoutons pi sur 32. L’équation de la normale à la courbe est moins 𝑥 sur huit plus 𝑦 plus neuf plus pi sur 32 égale zéro.

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