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Vidéo question :: Résoudre un système d’équations par substitution Mathématiques • Troisième préparatoire

Utilisez la méthode de substitution pour résoudre le système d’équations suivant : (1/3 𝑥) + (2/3) = 𝑦, 6𝑥 + (3/5 𝑦) = 64/5.

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Transcription de la vidéo

Utilisez la méthode de substitution pour résoudre le système d’équations un tiers de 𝑥 plus deux tiers égale 𝑦 et six 𝑥 plus trois cinquièmes de 𝑦 égale 64 sur cinq.

Pour résoudre ce système à deux équations, nous devons déterminer les valeurs des deux variables 𝑥 et 𝑦 qui satisfont aux deux équations. On nous dit que pour résoudre ce problème, il faut utiliser la méthode de substitution, ce qui signifie qu’il faut exprimer une variable en fonction de l’autre, puis remplacer cette expression dans l’autre équation pour obtenir une équation à une seule variable.

Alors, en regardant les équations données, nous voyons que nous avons en fait une égalité avec 𝑦 dans la première équation. Donc on nous a donné une expression de 𝑦 en fonction de l’autre variable. 𝑦 est égal à un tiers de 𝑥 plus deux tiers. Nous pouvons donc prendre cette expression et remplacer 𝑦 dans la deuxième équation. Voyons le résultat.

Nous prenons donc la deuxième équation et là où nous avons 𝑦 initialement, nous remplaçons maintenant par un tiers de 𝑥 plus deux tiers. Ainsi, l’équation devient six 𝑥 plus trois cinquièmes multipliés par un tiers de 𝑥 plus deux tiers égal à 64 sur cinq. Et nous avons maintenant établi une équation avec une seule variable. Notre équation est exprimée en fonction de 𝑥.

Nous pouvons maintenant résoudre cette équation pour déterminer la valeur de 𝑥. La première étape va être de développer les parenthèses. Dans chaque cas, le trois au numérateur de la fraction se simplifie avec le trois au dénominateur de l’autre fraction. Donc, il nous reste six 𝑥 plus un cinquième de 𝑥 plus deux cinquièmes égal à 64 sur cinq. Remarquons maintenant que trois des termes contiennent des fractions avec un dénominateur de cinq. Ce serait donc plus pratique si nous transformions également ce terme six 𝑥 en une fraction avec un dénominateur de cinq. Six peut aussi s’écrire 30 divisé par cinq. Donc nous pouvons réécrire six 𝑥 comme 30 sur cinq fois 𝑥. Et maintenant, chaque terme de l’équation a le même dénominateur, cinq.

En multipliant l’équation entière par cinq, nous éliminons toutes les fractions. Et nous obtenons 30𝑥 plus 𝑥 plus deux est égal à 64. Ensuite, nous pouvons regrouper les termes similaires sur le côté gauche. 30𝑥 plus 𝑥 donne 31𝑥. Et puis nous pouvons soustraire deux de chaque côté de l’équation pour obtenir 31𝑥 égal à 62. La dernière étape consiste à diviser chaque côté de l’équation par le coefficient de 𝑥, qui est 31. Nous avons donc 𝑥 égal à 62 sur 31. Et 62 sur 31 donne deux.

Nous avons donc trouvé la valeur de 𝑥. Il ne reste plus qu’à trouver la valeur de l’autre variable 𝑦. Nous pouvons faire cela en remplaçant la valeur de 𝑥 que nous venons de trouver dans l’une des deux équations. Comme l’équation un donne une expression explicite de 𝑦 en fonction de 𝑥, il est peut-être plus facile d’utiliser cette équation. En remplaçant 𝑥 égale deux, nous obtenons alors 𝑦 égal à un tiers multiplié par deux plus deux tiers. Cela fait deux tiers plus deux tiers, ce qui est égal à quatre tiers. Nous avons donc trouvé les solutions de ce système d’équations. 𝑥 est égal à deux et 𝑦 est égal à quatre tiers.

Il est toujours mieux de vérifier ce résultat. Et nous pouvons le faire en remplaçant les valeurs de 𝑥 et 𝑦 dans la deuxième équation. En remplaçant ces valeurs de 𝑥 et 𝑦 dans l’expression du côté gauche, nous obtenons six multipliés par deux plus trois cinquièmes multipliés par quatre tiers. Six multiplié par deux donne bien sûr 12. Et en simplifiant par le facteur trois au numérateur et au dénominateur du deuxième produit, nous obtenons que trois cinquièmes multipliés par quatre tiers donnent quatre cinquièmes. 12 est égal à 60 divisé par cinq. Nous pouvons donc réécrire cette somme comme 60 sur cinq plus quatre sur cinq, soit 64 sur cinq. C’est la même valeur que celle à droite de l’équation deux. Cela confirme donc que les solutions sont correctes.

En utilisant la méthode de substitution, nous avons obtenu que les solutions de ce système à deux équations sont 𝑥 égal deux et 𝑦 égal quatre tiers.

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