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Dans cette vidéo, nous allons parler des propriétés d’un gaz parfait. En particulier, nous allons examiner une équation très utile, qui s’appelle l’équation des gaz parfaits, qui relie trois propriétés importantes d’un gaz: le volume, la température et la pression. Mais pour commencer, définissons exactement ce que signifient les propriétés d’un gaz parfait.
Tout d’abord, qu’entendons-nous par propriétés d’un gaz? Eh bien, les propriétés d’un gaz décrivent le comportement moyen ou collectif d’un grand nombre de particules. Nous savons que les gaz sont constitués de molécules de gaz. Et même une petite quantité de gaz contient un grand nombre de molécules. Cela signifie que dans la plupart des situations, si nous essayions de décrire les propriétés individuelles de chaque molécule dans un gaz, par exemple, leurs vélocités et leurs positions, il est évident que les choses se compliqueraient très rapidement. Surtout si on considère que nous devrions mesurer ces quantités en trois dimensions et que cela change constamment. Donc, au lieu de tout cela, il est beaucoup plus facile et plus utile de simplement considérer les propriétés d’un gaz.
Dans le cas d’un gaz parfait, les propriétés qui nous intéressent sont le volume, la pression et la température du gaz. Ces propriétés traitent du comportement de toutes les molécules d’un gaz à la fois. Nous pouvons donc considérer un gaz comme étant un seul objet cohérent, plutôt que des milliards de molécules individuelles. La deuxième chose à définir est ce que nous entendons par un gaz parfait. Lorsque nous utilisons le mot parfait dans la vie de tous les jours, nous l’utilisons pour décrire quelque chose de vraiment bon ou pratique. Lorsque nous utilisons le mot parfait en science, il a le même sens. Nous l’utilisons pour faire référence à une description pratique et simplifiée de quelque chose.
Ainsi, lorsque nous parlons d’un gaz parfait, nous parlons d’une approximation simplifiée du comportement de notre gaz. Plus précisément, nous définissons un gaz parfait comme étant constitué de particules qui n’interagissent pas entre elles et dont la taille est négligeable. En d’autres termes, nous simplifions notre description d’un gaz en disant qu’il n’y a pas de forces entre les molécules de gaz telles que la répulsion électrostatique et que le volume des molécules de gaz est négligeable par rapport au volume du gaz entier. La raison pour laquelle nous simplifions notre description de cette manière est que cela rend les calculs mathématiques dont nous avons besoin pour décrire ce gaz beaucoup plus simples tout en étant suffisamment précis pour être utiles dans de nombreuses situations.
Les physiciens ont utilisé ces deux hypothèses simplificatrices pour trouver une équation simple et utile qui relie ces trois propriétés d’un gaz. Cette équation est appelée l’équation des gaz parfaits, et elle s’écrit ainsi. L’équation des gaz parfaits nous dit que la pression d’un gaz parfait multipliée par son volume est égale à une constante de proportionnalité multipliée par la température du gaz. Maintenant, la pression équivaut à une force divisée par une aire. Lorsque nous parlons de la pression d’un gaz dans un récipient, nous parlons de la pression que les molécules de gaz exercent sur les parois du récipient en entrant en collision avec elles. La pression d’un gaz est égale à la force totale que les molécules de gaz exercent à l’intérieur de ce récipient divisée par la surface interne totale des parois du récipient.
Parce que à chaque action correspond une réaction égale et opposée, nous pouvons également imaginer cela dans l’autre sens. La pression que le gaz exerce sur son réservoir est exactement la même que la pression que le réservoir exerce sur le gaz. Selon le contexte que nous examinons, il peut parfois être plus facile de penser à la pression d’un gaz comme une pression expansive externe qui agit sur son contenant. Mais à d’autres moments, il pourrait être plus facile de penser à la pression comme étant une pression compressive interne que le récipient exerce sur un gaz. Mais y penser de différentes manières ne change ni le calcul, ni sa valeur.
Lorsque nous pensons à la pression d’un gaz dans un récipient, qui aura tendance à être une assez petite quantité de gaz, la pression peut être mesurée en tout point du gaz. Et elle a la même valeur en chacun de ces points. Les unités de pression sont des pascals représentés par un «𝑃» majuscule et un «𝑎» minuscule. Et puisque la pression est égale à une force divisée par une aire, un pascal équivaut à un newton par mètre carré. La variable suivante de cette équation, le volume, est beaucoup plus facile à conceptualiser. Le volume d’un gaz est simplement la quantité d’espace 3D qu’il occupe, que nous mesurons en mètres cubes.
L’autre variable de cette équation est la température. Comme avec la plupart des équations de physique traitant de températures, il est très important que la valeur que nous utilisons ici soit mesurée en kelvin plutôt qu’en degrés Celsius. Nous pouvons rappeler que dans l’échelle de température Celsius, le zéro degré Celsius est arbitrairement défini comme étant le point de congélation de l’eau. Cependant, la température la plus basse qu’un objet puisse théoriquement avoir est en fait de moins 273,15 degrés Celsius. Donc, cette température, connue sous le nom de zéro absolu, est défini comme étant le point zéro de l’échelle kelvin.
Maintenant, à l’exception des positions des points zéro, les échelles kelvin et des degrés Celsius sont en fait les mêmes. Autrement dit, une augmentation de température d’un degré Celsius est exactement la même chose qu’une augmentation de température d’un kelvin, ce qui signifie que le point de congélation de l’eau est de 273,15 kelvin. En d’autres termes, la température mesurée en kelvin, que nous pourrions appeler 𝑇 𝑘, est égale à la température mesurée en degrés Celsius, que nous pourrions appeler 𝑇 𝑐 plus 273,15, bien que nous arrondissions souvent cela à trois chiffres significatifs, soit 273. Chaque fois que nous utilisons l’équation des gaz parfaits, nous devons nous assurer que toutes les températures données en Celsius soient d’abord converties en kelvin. Sinon, notre calcul nous donnera un résultat incorrect.
La dernière partie de cette équation à examiner est la constante de proportionnalité 𝑘. Cette constante, comme la plupart des constantes dans les équations physiques, assure simplement que lorsque nous utilisons l’équation des gaz parfaits, nous obtenons une réponse dans les bonnes unités. Par exemple, si nous substituons une pression en pascals et un volume en mètres cubes, alors nous pourrions obtenir une température en kelvin. Une chose importante à savoir sur cette constante de proportionnalité est qu’elle dépend de la quantité de gaz que nous avons.
En fait, sa valeur est proportionnelle au nombre de molécules de gaz. Cela signifie que cette constante de proportionnalité n’est constante que si le nombre de molécules de gaz reste le même. Il est donc important de prendre cela en compte à chaque fois que nous utilisons l’équation des gaz parfaits. Tant que le nombre de molécules de gaz ne change pas, l’équation des gaz parfaits nous dit que la pression d’un gaz parfait multipliée par son volume est proportionnel à sa température. Maintenant que nous avons parlé de ce qu’est un gaz parfait et de la façon dont ses propriétés peuvent être liées les unes aux autres à l’aide de l’équation des gaz parfaits, examinons quelques exemples.
Laquelle des formules suivantes représente le mieux la relation entre la pression, le volume et la température absolue d’un gaz parfait? (A) 𝑃 sur 𝑉 est proportionnel à 𝑇, (B) 𝑃 sur 𝑇 est proportionnel à 𝑉, (C) 𝑃 fois 𝑉 est proportionnel à 𝑇, (D) 𝑉 sur 𝑇 est proportionnel à 𝑃, ou (E) 𝑉 sur 𝑃 est proportionnel à 𝑇.
Alors, dans cette question, on nous a donné cinq formules différentes. Et nous devons décider laquelle d’entre elles représente le mieux la relation entre ces trois quantités. Nous pouvons commencer par rappeler les symboles que nous utilisons généralement pour représenter ces quantités. Eh bien, nous utilisons généralement P majuscule pour la pression, V majuscule pour le volume et 𝑇 majuscule pour la température absolue. Puisque chacune des réponses possibles utilise ces trois symboles, cela signifie qu’ils représentent tous une sorte de relation entre les trois quantités qui nous intéressent.
L’expression clé dans l’énoncé qui peut nous aider à déterminer laquelle de ces réponses est la plus correcte est gaz parfait. Nous pouvons rappeler qu’un gaz parfait est une description simplifiée d’un gaz basée sur l’hypothèse que les molécules de gaz ont une taille négligeable et n’interagissent pas entre elles. Maintenant, il y a une équation clé à laquelle nous devrions toujours penser chaque fois que nous entendons l’expression gaz parfait. Et c’est l’équation des gaz parfaits, 𝑃𝑉 est égal à 𝑘𝑇. Cette équation nous donne la relation entre trois des principales propriétés d’un gaz parfait: la pression 𝑃, le volume 𝑉 et la température absolue 𝑇, qui sont bien sûr les mêmes que les trois quantités qui nous intéressent dans cette question.
Mais malheureusement, bien que cela nous donne une relation correcte entre la pression, le volume et la température absolue d’un gaz parfait, aucune de nos réponses disponibles ne ressemble à cette équation. En fait, l’une des premières choses que nous aurions pu remarquer à propos des choix de réponse qui nous ont été proposées est que, bien qu’elles soient des formules, aucune d’entre elles n’est une équation. C’est-à-dire qu’elles ne contiennent pas de signe d’égalité. Plutôt, chacune des formules possibles contient ce symbole. C’est le symbole de la proportionnalité. Nous l’utilisons pour représenter le fait que les deux côtés de la formule sont proportionnels l’un à l’autre.
Ainsi, par exemple, si deux variables 𝐴 et 𝐵 étaient proportionnelles l’une à l’autre, cela pourrait être représenté par cette formule. Cela signifie que même si les deux variables ne sont pas nécessairement égales, elles augmentent ou diminuent proportionnellement. Ce qui signifie que, par exemple, si nous doublions la grandeur de 𝐴, c’est-à-dire la multiplions par deux, nous trouverions que la grandeur de 𝐵 doublerait aussi. Ou, par exemple, si nous multiplions 𝐵 par 0,25, alors nous trouverions que 𝐴 est également multiplié par 0,25.
Vous vous souvenez peut-être qu’il est possible de transformer une expression de proportionnalité en une expression d’égalité. Autrement dit, nous pouvons transformer une telle expression impliquant un signe de proportionnalité en une équation avec un signe d’égalité. Nous pouvons le faire en remplaçant simplement le signe de proportionnalité par un signe d’égalité et en introduisant une constante de proportionnalité, généralement représentée par un 𝐾, qui est multiplié par l’une des variables. Cela nous donne une équation qui exprime exactement la même relation entre 𝐴 et 𝐵, comme le fait cette expression de proportionnalité. Nous pouvons voir que dans cette équation, si nous devions multiplier 𝐵 par deux, par exemple, alors puisque 𝐴 est égal à un certain nombre de fois 𝐵, 𝐴 devrait également augmenter de deux fois.
Dans ce cas, la constante de proportionnalité 𝐾 joue le rôle de mettre B à l’échelle de sorte que 𝐾 fois 𝐵 est exactement égal à 𝐴. Dans de nombreuses équations physiques, nous constatons également que la constante de proportionnalité joue un rôle supplémentaire afin d’assurer que les unités du côté gauche de l’équation soient équivalentes aux unités du côté droit de l’équation. Il convient également de noter qu’il y a deux façons de transformer cette expression de proportionnalité en une équation. Nous pouvons noter la constante de proportionnalité sur le côté droit de l’équation comme ceci, telle qu’elle soit multipliée par 𝐵. Ou nous pourrions écrire notre équation comme ceci, avec la constante de proportionnalité multipliée par 𝐴.
Il est très important de noter que ces valeurs de 𝐾 ne sont pas les mêmes car nous avons en effet défini 𝐾 de façon différente dans chaque équation. En fait, elles auront même des unités différentes. Ce sont des constantes totalement différentes. Nous devrions donc vraiment appeler l’un d’eux 𝐾 un et l’autre 𝐾 deux pour les distinguer. Alors maintenant, ces deux équations et cette expression de proportionnalité sont exactement équivalentes. Il est également important de noter que les expressions de proportionnalité peuvent avoir plus d’une variable de chaque côté du signe de proportionnalité, ce qui est visiblement le cas dans toutes les options de réponse qui nous ont été proposées.
Par exemple, on pourrait dire que 𝐴 est proportionnel à 𝐵 fois 𝐶. Dans ce cas, si nous multiplions la grandeur de 𝐴 par deux, nous trouverons alors que le produit de 𝐵 et 𝐶 est également multiplié par deux. Avoir plus d’une variable de chaque côté d’une expression de proportionnalité ne change pas la façon dont nous pouvons la transformer en une équation. Ainsi, l’expression 𝐴 est proportionnelle à 𝐵 fois 𝐶 équivaut à 𝐴 est égal à 𝐾 un fois 𝐵𝐶 ou 𝐾 deux fois 𝐴 est égal à 𝐵𝐶.
Avec du recul, nous pouvons voir que l’équation des gaz parfaits nous donne la relation que nous recherchons. Cependant, les réponses disponibles sont toutes des expressions de proportionnalité. Cela signifie que nous pouvons trouver notre réponse en transformant cette équation en une expression de proportionnalité. Dans l’équation des gaz parfaits, nous avons deux variables, 𝑃 et 𝑉, d’un côté de l’équation et une variable, 𝑇, de l’autre. La présence de cette constante de proportionnalité signifie que l’équation nous dit que 𝑃 fois 𝑉 est proportionnel à 𝑇. Ces deux expressions sont des moyens équivalents d’exprimer la même relation entre les trois variables. Et nous pouvons également voir que cette expression de proportionnalité est l’un de nos choix de réponse. Donc, le choix (C) est la bonne réponse. La formule qui représente le mieux la relation entre la pression, le volume et la température absolue d’un gaz parfait est 𝑃 fois 𝑉 est proportionnelle à 𝑇.
Maintenant que nous avons trouvé cette réponse, examinons un autre exemple.
Une bouteille de gaz contient 3,25 mètres cubes de gaz à une pression de 520 kilopascals et à une température de 300 kelvins. À quelle température la pression du gaz dans le cylindre aurait-elle une valeur de 865 kilopascals? Répondez à trois chiffres significatifs.
Alors, cette question décrit une bouteille de gaz d’un volume de 3,25 mètres cubes, d’une pression de 520 kilopascals, ce qui vaut 520000 pascals, et d’une température de 300 kelvin. On nous demande de calculer la température à laquelle la pression du gaz dans la bouteille deviendrait 865 kilopascals ou 865 000 pascals. Nous pourrions donc imaginer la même bouteille de gaz à un moment plus tard où la pression est devenu 865 kilopascals ou 865000 pascals et la température a pris une valeur inconnue que nous devons déterminer. Et parce que c’est le même cylindre, nous pouvons supposer que le volume resterait inchangé.
À ce stade, parce que nous avons deux ensembles de valeurs différents pour les quantités volume, pression et température, appelons l’ensemble initial de valeurs à gauche 𝑉 un, 𝑃 un et 𝑇 un et les valeurs modifiées à droite 𝑉 deux, 𝑃 deux et 𝑇 deux. Donc, notre défi dans cette question est de trouver 𝑇 deux. Alors, pour commencer, pensons aux variables que nous devons traiter dans cette question et voyons si nous pouvons penser à une équation qui pourraient nous aider.
Eh bien, cette question nous demande de considérer le volume, la pression et la température du gaz. Une équation qui nous donne la relation entre ces quantités est l’équation des gaz parfaits. Celle-ci nous indique que la pression d’un gaz parfait multipliée par son volume est égale à une constante multipliée par sa température absolue. Nous pouvons rappeler que l’équation des gaz parfaits suppose que les molécules de gaz ont une taille négligeable et n’interagissent pas entre elles. Même si cette question traite d’un vrai gaz, il est toujours raisonnable d’utiliser l’équation des gaz parfaits car elle peut toujours nous donner des réponses exactes sans être trop compliquées.
Or, dans cette question, nous essayons de trouver la valeur de 𝑇. Alors réarrangeons l’équation des gaz parfaits pour en faire de 𝑇 le sujet et faisons cela en divisant simplement les deux côtés de l’équation des gaz parfaits par 𝑘, ce qui nous donne 𝑃𝑉 sur 𝑘 égal à 𝑇. Puisque nous devons trouver la température du gaz après augmentation de la pression, il semble raisonnable que nous puissions simplement insérer ces valeurs, 𝑉 deux et 𝑃 deux, dans cette équation. Et cela nous donnera 𝑇 deux. Cependant, bien que cela soit techniquement vrai, si nous essayons de le faire, nous réaliserons rapidement que nous ne savons pas quelle est la valeur de 𝑘. En effet, 𝑘 prend en fait des valeurs différentes selon le nombre de molécules de gaz que nous traitons. Donc, ce n’est pas quelque chose que nous pouvons simplement rechercher.
En l’état actuel des choses nous ne pouvons pas substituer 𝑉 deux et 𝑃 deux directement dans l’équation et simplement obtenir une valeur de 𝑇 deux. Cependant, comme nous avons un ensemble de conditions initiales pour le volume, la pression et la température du gaz, nous pouvons faire autre chose avec l’équation du gaz idéal pour trouver la réponse. Si nous commençons par 𝑃𝑉 est égal à 𝑘𝑇 et divisons les deux côtés de l’équation par 𝑇, nous obtenons 𝑃𝑉 sur 𝑇 égal à 𝑘. Parce que la quantité de molécules de gaz dans cette question est constante, cela signifie que 𝑘 est constante. Ainsi, quelle que soit la façon dont nous essayons de changer la pression, le volume ou la température d’une quantité fixe de gaz, nous constatons que la valeur de 𝑃𝑉 sur 𝑇 est toujours constante.
En d’autres termes, 𝑃 un fois 𝑉 un divisé par 𝑇 un est égal à 𝑃 deux fois 𝑉 deux divisé par 𝑇 deux. Écrire l’équation des gaz parfaits de cette façon équivaut en fait à sa forme plus familière, 𝑃𝑉 égale 𝑘𝑇. Cependant, elle rend plus facile le calcul des changements des variables sans avoir besoin de connaitre 𝑘. Et nous pouvons utiliser cette formulation pour cette question. Puisque nous essayons de trouver 𝑇 deux, réorganisons d’abord cela pour faire de 𝑇 deux le sujet. Premièrement, nous pouvons multiplier les deux côtés de l’équation par 𝑇 deux, puis multiplier les deux côtés de l’équation par 𝑇 un, et enfin diviser les deux côtés de l’équation par 𝑃 un 𝑉 un.
Avec l’équation sous cette forme parce que nous connaissons la température initiale, la pression initiale et le volume initial avant que la pression n’augmente, et nous connaissons le volume et la pression après l’augmentation de la pression. Nous pouvons simplement substituer toutes ces valeurs et calculer 𝑇 deux. Donnons-nous un peu plus d’espace. Et nous savons que 𝑇 un est de 300 kelvins, 𝑃 deux est de 865000 pascals, 𝑉 deux est de 3,25 mètres cubes, 𝑃 un est de 520000 pascals, et 𝑉 un est de 3,25 mètres cubes aussi. En mettant tout cela dans notre calculatrice, nous obtenons une réponse de 499,04 qui a comme unité le kelvin puisque c’est une température. Et en arrondissant notre réponse à trois chiffres significatifs, nous obtenons une réponse finale de 499 kelvins.
Maintenant que nous avons examiné quelques exemples, résumons ce dont nous avons parlé dans cette vidéo. Tout d’abord, nous avons défini un gaz parfait en supposant que les particules d’un gaz ont une taille négligeable et n’interagissent pas entre elles. Nous avons également défini les propriétés d’un gaz parfait comme des propriétés qui résultent du comportement moyen de nombreuses particules. Et les propriétés d’un gaz parfait sont la pression, le volume et la température. Nous avons vu comment ces trois quantités sont liées par l’équation des gaz parfaits, 𝑃𝑉 est égal à 𝑘𝑇, où 𝑘 est proportionnel au nombre de molécules de gaz.
Et enfin, nous avons vu comment nous pouvons utiliser l’équation des gaz parfaits pour obtenir la formule 𝑃 un 𝑉 un sur 𝑇 un est égal à 𝑃 deux 𝑉 deux sur 𝑇 deux. Et nous avons montré comment utiliser cette équation pour calculer les variations de la pression, du volume et de la température du gaz sans avoir besoin de connaître la valeur de k.
