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Vidéo question :: Écrire et résoudre un système d’équations linéaires à deux inconnues Mathématiques • Troisième préparatoire

L’âge d’un homme est 9 ans de plus que le double de l’âge de son fils. Étant donné que la somme de leurs âges vaut 57, déterminez leurs âges respectifs.

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Transcription de la vidéo

L’âge d’un homme est 9 ans de plus que le double de l’âge de son fils. Étant donné que la somme de leurs âges vaut 57, déterminez leurs âges respectifs.

Il peut être tentant d’essayer de répondre à cette question en utilisant la méthode essai-erreur. Mais au lieu de cela, choisissons une approche algébrique. Nous ne connaissons l’âge ni de l’une, ni de l’autre de ces deux personnes. Nous allons donc utiliser des lettres pour les représenter. Nous allons poser que l’âge de l’homme sera représenté par la lettre 𝑚 et que l’âge du fils sera représenté par la lettre 𝑠. Nous pouvons alors écrire quelques équations à l’aide des informations données dans la question.

Premièrement, on nous dit que l’âge de l’homme est 9 ans de plus que le double de l’âge de son fils. Eh bien, si l’âge de son fils est 𝑠, alors deux fois l’âge de son fils est deux 𝑠. Et si l’on ajoute 9, cela donne : deux 𝑠 plus neuf. On peut donc écrire l’équation : 𝑚 égal deux 𝑠 plus neuf. L’autre information qu’on nous donne est que la somme de leurs âges est 57. Nous pouvons donc écrire une seconde équation : 𝑚 plus 𝑠 égal 57.

Ce que nous avons maintenant, c’est un système d’équations linéaires à deux inconnues 𝑚 et 𝑠. Pour résoudre ces équations, nous devons observer que notre première équation donne une expression explicite de la variable 𝑚 en fonction de l’autre variable. Cela signifie que nous pouvons substituer cette expression à 𝑚 dans la seconde équation. Et cela donnera une équation avec pour seule inconnue 𝑠.

Voyons alors à quoi cela ressemble. Nous prenons notre deuxième équation et là où nous avions 𝑚, nous le remplaçons par deux 𝑠 plus neuf, ce qui donne l’équation : deux 𝑠 plus neuf plus 𝑠 égal 57. C’est une équation avec seulement une inconnue. Nous pouvons maintenant résoudre cette équation pour déterminer la valeur de 𝑠. Le regroupement des termes de même nature dans le membre gauche donne trois 𝑠 plus neuf égal 57. On peut alors soustraire neuf à chaque membre pour trouver : trois 𝑠 égal 48. Enfin, nous pouvons diviser les deux membres de l’équation par trois, ce qui donne 𝑠 égal 48 sur trois, soit 16. Cela nous indique alors que le fils a 16 ans.

Il ne nous reste plus qu’à calculer l’âge de son père. Nous pouvons le faire en prenant la valeur que nous avons trouvée pour 𝑠 et en la substituant dans l’une des deux équations. Utilisons l’équation un. Cela donne 𝑚 égal deux multiplié par 16 plus neuf. Cela fait 32 plus neuf, ce qui équivaut à 41. Enfin, nous devrions vérifier notre réponse afin de confirmer que la somme des âges de l’homme et de son fils est bien égale à 57, ce qui est le cas.

Ainsi, en écrivant un système d’équations linéaires, que nous avons en fait résolu en utilisant la méthode par substitution, nous avons constaté que le fils avait 16 ans et que l’homme avait 41 ans.

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