Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Vidéo de question : Calcul de l’angle de déviation d’un rayon lumineux traversant un prisme triangulaire Physique

Le schéma illustre le trajet d’un rayon lumineux passant à travers un prisme triangulaire d’indice de réfraction 1,5 entouré d’air. L’angle Φ₁ = 42° et l’angle au sommet du prisme 𝐴 = 58°. Déterminez l’angle 𝛼 au degré près.

10:50

Transcription de vidéo

Le schéma illustre le trajet d’un rayon lumineux passant à travers un prisme triangulaire d’indice de réfraction 1,5 entouré d’air. L’angle Φ un est égal à 42 degrés et l’angle au sommet du prisme 𝐴 est égal à 58 degrés. Déterminez l’angle 𝛼 au degré près.

On observe sur le schéma cet angle 𝛼 indiqué ici. Physiquement, 𝛼 indique la différence entre la direction du rayon lumineux à l’origine et sa direction finale après avoir été réfracté à travers le prisme. Avant de pouvoir calculer 𝛼, on va devoir trouver une équation permettant de l’exprimer en fonction des autres informations données. Le schéma indique également l’angle au sommet 𝐴 du prisme, l’angle d’incidence initial Φ un et l’angle de réfraction initial 𝜃 un, ainsi que l’angle d’incidence final Φ deux et l’angle de réfraction final 𝜃 deux de notre rayon.

On nous dit que Φ un est égal à 42 degrés et l’angle au sommet 𝐴 est égal à 58 degrés. On nous dit également que l’indice de réfraction de notre prisme est de 1,5 et que le prisme est entouré d’air, qui a un indice de réfraction de 1,0. Sachant tout cela, faisons de la place sur l’écran et écrivons l’angle 𝛼 en fonction des autres valeurs présentées ici.

Commençons par regarder ce triangle surligné en orange et traçons une vue agrandie de ce triangle pour annoter ses angles intérieurs. Vu que cet angle ici est 𝛼, cet angle vaut alors 180 degrés moins 𝛼. En effet, ces deux angles additionnés doivent être égaux à 180 degrés. Sachant par ailleurs que cet angle ici est Φ un et que cet angle ici est 𝜃 un, on peut identifier cet angle intérieur du triangle comme étant de Φ un moins 𝜃 un. Enfin, sachant que cet angle ici est 𝜃 deux et que cet angle ici est Φ deux, on conclut que cet angle intérieur du triangle est de 𝜃 deux moins Φ deux.

Rappelons maintenant que pour tout objet à trois côtés, si on prend les angles intérieurs de ce triangle et qu’on les ajoute tous ensemble, on obtiendra toujours une valeur de 180 degrés. En appliquant cette règle aux angles intérieurs de ce triangle, on peut alors écrire cette équation. Ici, Φ un moins 𝜃 un est un premier angle, 180 degrés moins 𝛼 est un autre angle, et 𝜃 deux moins Φ deux est le troisième. On remarque que 180 degrés apparaît des deux côtés de cette équation. Cela signifie que si on soustrait 180 degrés des deux côtés, ce nombre s’annulera complètement.

Comme étape suivante pour l’équation résultante, si on ajoute l’angle 𝛼 des deux côtés, alors 𝛼 moins 𝛼 à gauche est égal à zéro, ce qui nous donne cette expression qui, si on échange les côtés droit et gauche, nous dit que l’angle 𝛼 est égal à 𝜃 deux moins Φ deux plus Φ un moins 𝜃 un. Parmi toutes ces valeurs du côté droit de cette équation, on connait l’une d’entre elles, Φ un. Mais on n’a pas encore assez d’information pour calculer l’angle 𝛼.

Continuons à travailler dans ce sens en utilisant le fait que l’on connait l’angle au sommet 𝐴. On oublie maintenant le triangle orange agrandi, et on va se concentrer sur ce quadrilatère rose dans le prisme. L’un des angles intérieurs de cette forme à quatre côtés est l’angle au sommet 𝐴. Un autre angle intérieur s’avère être un angle droit. En effet, cet angle est défini par la surface du prisme et une droite perpendiculaire à celui-ci. La même chose est vraie au coin opposé du quadrilatère. Le dernier angle intérieur de cette forme à quatre côtés est cet angle non-annoté ici.

Pour toute forme à quatre côtés, si on additionne les quatre angles intérieurs, on obtient un résultat de 360 degrés. Ce n’est pas la même chose que dans un triangle. On peut dire alors que 𝐴, l’angle au sommet de ce quadrilatère, plus 90 degrés, cet autre angle intérieur, plus 90 degrés pour cet angle intérieur ajouté à notre quatrième angle intérieur inconnu qu’on laissera blanc pour le moment est égal à 360 degrés.

Ici, 90 degrés plus 90 degrés est de 180 degrés. En soustrayant cet angle des deux côtés de l’équation, 180 degrés moins 180 degrés sur la gauche sont égaux à zéro. Et à droite, on a un résultat de 180 degrés. Enfin, si on soustrait l’angle au sommet 𝐴 des deux côtés, en supprimant cet angle à gauche, on constate que l’on a maintenant trouvé l’angle inconnu dans le quadrilatère. Il vaut 180 degrés moins 𝐴.

Dans cet esprit, portons notre attention sur ce triangle surligné en vert. Une vue agrandie de ce triangle ressemble à ceci, où les angles intérieurs sont 𝜃 un, Φ deux et 180 degrés moins 𝐴. Rappelons maintenant la règle pour les triangles que l’on a utilisée plus tôt. Si on additionne ses trois angles intérieurs, cela donne 180 degrés. La soustraction de 180 degrés des deux côtés de l’équation annule complètement cet angle. Puis, avec l’équation résultante, si on ajoute l’angle 𝐴 des deux côtés pour que cet angle s’annule à gauche, on arrive à une expression de l’angle au sommet 𝐴 en fonction de 𝜃 un et Φ deux.

On remarque que dans notre équation pour 𝛼, 𝜃 un et Φ deux apparaissent. En fait, on pourrait regrouper les termes du côté droit de cette expression afin d’avoir 𝜃 deux plus Φ un moins 𝜃 un plus Φ deux. On vient de voir que l’angle au sommet 𝐴 est égal à 𝜃 un plus Φ deux. Donc, si on remplace, on arrive à une expression pour 𝛼 en fonction des variables 𝜃 deux, Φ un et 𝐴. C’est un bon progrès car, comme on l’a vu, on nous donne Φ un et 𝐴.

Pour trouver 𝛼, la dernière valeur à calculer est 𝜃 deux. Gardons notre équation pour 𝛼 sur le côté pour le moment, faisons de la place sur l’écran et voyons comment trouver ce deuxième angle de réfraction 𝜃 deux. Pour nous aider, on peut utiliser une loi de l’optique appelée loi de Snell. Cette loi nous dit que lorsqu’un rayon de lumière est incident sur une interface entre deux matériaux optiquement différents, alors l’indice de réfraction du matériau dans lequel se trouve le rayon, 𝑛 indice 𝑖, multiplié par le sin de l’angle d’incidence, 𝜃 indice 𝑖, est égale à l’indice de réfraction du matériau traversé par le rayon, 𝑛 indice 𝑟, multiplié par le sin de l’angle de réfraction, 𝜃 indice 𝑟.

On remarque que sur le schéma du prisme 𝜃 indice deux, l’angle que l’on cherche est un angle de réfraction de ce rayon de lumière. Si on devait se concentrer sur cette partie du rayon lumineux, où il quitte le prisme et pénètre dans l’air, on pourrait écrire que 1,5, l’indice de réfraction du prisme, fois le sinus de Φ indice deux, l’angle incident dans ce cas, est égal d’après la loi de Snell à l’indice de réfraction de l’air, 1,0, fois le sin de 𝜃 indice deux, l’angle de réfraction de ce rayon. Dans cette équation, on cherche 𝜃 indice deux, mais on ne peut pas encore tout-à-fait le déduire car on ne connait pas Φ indice deux.

Mais en revenant à notre triangle vert, on pourrait calculer Φ indice deux si on connaissait à la fois l’angle 𝜃 indice un et cet angle ici. Et en fait, on connait le deuxième angle. On l’a calculé plus tôt ; il est de 180 degrés moins 𝐴. Par conséquent, si on pouvait calculer 𝜃 indice un, on pourrait ajouter cet angle à cet angle ici et utiliser cette somme pour calculer Φ indice deux.

La seule façon de calculer 𝜃 un est d’utiliser une autre application de la loi de Snell. Passons maintenant à cette partie du rayon lumineux lorsqu’il pénètre dans le prisme depuis l’air. Dans ce cas, on a 1,0, l’indice de réfraction de l’air dans lequel se trouve le rayon, multiplié par le sin de l’angle d’incidence d’origine, Φ un. La loi de Snell dit que cela est égal à l’indice de réfraction du prisme, 1,5, fois le sin de l’angle de réfraction, 𝜃 un. Ici, on cherche à trouver 𝜃 un. Et dans ce cas, il se trouve qu’on connait cet angle Φ un. Cet angle, nous dit-on, est de 42 degrés.

On peut donc faire ce calcul. On divise les deux côtés de cette équation par 1,5, supprimant ainsi ce facteur à droite. Ensuite, avec l’expression restante, on peut isoler cet angle 𝜃 un en prenant le sinus inverse des deux côtés de l’équation. À droite, le sinus inverse du sinus d’un angle est simplement égal à cet angle lui-même. C’est-à-dire que l’on a maintenant une expression isolant 𝜃 un. 𝜃 un est égal au sinus inverse de 1,0 fois le sinus de Φ un divisé par 1,5. Et maintenant, on peut utiliser le fait que l’angle Φ un est de 42 degrés.

Après substitution, on peut calculer 𝜃 un et on obtient un résultat approximatif de 26,49 degrés. Bien, à présent, gardons ce résultat sur le côté, faisons un peu de place, et revenons maintenant à ce triangle vert et aux angles intérieurs du triangle. Ces angles intérieurs, comme on l’a vu, sont 𝜃 un, 180 degrés moins 𝐴 et Φ deux. Selon notre règle pour les triangles, lorsque l’on additionne ces trois angles ensemble, on doit obtenir 180 degrés. Si on soustrait 180 degrés des deux côtés de l’équation, cette mesure d’angle s’annule complètement. Et on obtient cette expression, où on remarque que l’on connait 𝜃 un et également l’angle 𝐴.

Si on ajoute 𝐴 et on soustrait 𝜃 un des deux côtés de cette équation, alors sur le côté gauche, ces deux termes s’annulent. Et on constate que Φ deux est égal à 𝐴 moins 𝜃 un. 𝐴 vaut 58 degrés, et 𝜃 un vaut environ 26,49 degrés, ce qui nous donne un angle de 31,51 degrés pour Φ deux. On peut insérer cet valeur pour Φ deux dans notre équation de loi de Snell originale. On voit alors que l’on connait maintenant toutes les valeurs dans cette équation, sauf celle de l’angle 𝜃 deux. C’est l’angle que l’on cherche à calculer, car une fois qu’on le connaitra, on pourra alors déduire la dernière valeur inconnue de notre équation, soit 𝛼, ce que l’on cherche réellement.

En regardant le côté droit de cette expression, on remarque que l’on multiplie le sin de 𝜃 deux par 1,0, ce qui ne change pas du tout cette valeur, on peut donc laisser cela de côté. Ensuite, si on prend le sinus inverse des deux côtés de l’équation, le sinus inverse du sinus de 𝜃 deux est simpement égal à 𝜃 deux. 𝜃 deux est alors égal au sinus inverse de 1,5 fois le sinus de 31,51 degrés. En calculant cet angle, on obtient 51,63 degrés.

En revenant à notre équation pour l’angle 𝛼, on connait maintenant 𝜃 deux, Φ un et l’angle 𝐴. En insérant à ces valeurs, 𝛼 est égal à 51,63 degrés plus 42 degrés moins 58 degrés. Cela équivaut à 35,63 degrés, ou à 36 degrés, arrondi au degré le plus proche. Il s’agit donc de l’angle de déviation du rayon lumineux au degré près, après réfraction.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.