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Vidéo question :: Déterminer la norme d’une force résultante Physique • Première secondaire

La force 𝐅 est la résultante des deux vecteurs force représentés sur la figure. Quelle est la valeur de la norme de 𝐅 arrondie au newton près ?

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Transcription de la vidéo

La force 𝐅 est la résultante des deux vecteurs force représentés sur la figure. Quelle est la valeur de la norme de 𝐅 arrondie au newton près ?

Pour cette question, nous avons une figure qui représente trois vecteurs. Le vecteur violet représente ici une force 𝐅 et on nous dit que 𝐅 est la résultante des deux autres vecteurs force. Ce sont les flèches rouges ici, pour lesquelles nous avons une indication de norme et de direction. On nous demande de déterminer la valeur de la norme du vecteur 𝐅. La norme de 𝐅 correspond à la longueur de cette flèche violette. Nous pouvons voir sur la figure que comme 𝐅 est la résultante des deux autres vecteurs, lorsque nous mettons les deux vecteurs bout à bout comme ça – ici nous avons le deuxième vecteur, avec l’origine au niveau de l’extrémité du premier vecteur - alors le vecteur résultant 𝐅 va de l’origine du premier vecteur à l’extrémité du deuxième vecteur.

Pour calculer la norme de 𝐅, ou la longueur de cette flèche, on peut remarquer que le vecteur 𝐅 est l’hypoténuse d’un triangle rectangle. Rappelons que le théorème de Pythagore dit que pour un triangle rectangle dont l’hypoténuse a une longueur 𝑐 et dont les autres côtés ont des longueurs 𝑎 et 𝑏, on a 𝑐 au carré est égal à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Si nous prenons la racine carrée de cette expression, nous avons que 𝑐, la longueur de l’hypoténuse, est égale à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Dans le cas du triangle rectangle que nous avons identifié sur cette figure, la longueur de l’hypoténuse est la norme du vecteur 𝐅. Donc, si nous pouvons calculer les longueurs des deux autres côtés du triangle, que nous avons appelés 𝑎 et 𝑏, alors le théorème de Pythagore nous dit que, dans ce triangle, la valeur de 𝐅 est égale à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré.

Pour déterminer les valeurs de 𝑎 et 𝑏, nous allons devoir identifier deux autres triangles rectangles sur notre figure. Le premier triangle, que nous avons appelé triangle un, est le triangle rectangle dont l’hypoténuse est le premier vecteur rouge. L’autre triangle, que nous avons appelé triangle deux, est le triangle rectangle dont l’hypoténuse est le deuxième vecteur rouge. Pour ces deux triangles que nous avons identifiés, on nous donne la longueur de l’hypoténuse et la valeur de l’un des angles. Maintenant que nous avons dessiné sur la figure, ces informations ne sont plus très claires, alors redessinons ces deux triangles séparément.

Le triangle un a une forme de ce type. Et en regardant la figure qui nous a été donnée, nous pouvons voir que l’angle le plus à gauche du triangle vaut 20 degrés et que la longueur de l’hypoténuse, qui est la norme du premier vecteur rouge, vaut 70 newtons. Voici donc le triangle un. Faisons maintenant la même chose pour le triangle que nous avons appelé deux. Dans ce triangle, l’angle le plus à gauche vaut 70 degrés et la longueur de l’hypoténuse, qui est la norme du deuxième vecteur rouge, vaut 60 newtons. Voici donc le triangle deux. Si nous regardons maintenant les triangles sur cette figure, nous nous apercevons que 𝑎, la longueur du côté horizontal du triangle orange, est égale à la somme du côté horizontal du triangle un plus le côté horizontal du triangle deux.

Imaginons que nous déplaçons le triangle deux verticalement vers le bas de sorte que la base, ou le côté horizontal du triangle deux, ait la même hauteur verticale que le côté horizontal du triangle un. Et nous constatons qu’il s’insère parfaitement dans cet espace ici. Appelons le côté horizontal du triangle un 𝑎 un et dans le triangle deux 𝑎 deux. Ensuite, sur cette figure, nous pouvons identifier les longueurs 𝑎 un et 𝑎 deux et facilement voir que 𝑎 doit être égal à 𝑎 un plus 𝑎 deux. Nous pouvons faire la même chose pour les côtés verticaux des triangles un et deux. Nous les appelons respectivement 𝑏 un et 𝑏 deux. De la même manière que précédemment, sur cette figure, imaginons que nous déplaçons le triangle un horizontalement jusqu’à ce que son côté vertical soit aligné avec le côté vertical du triangle deux. On peut alors identifier les longueurs 𝑏 un et 𝑏 deux sur cette figure. Et nous pouvons voir que 𝑏 doit être égal à 𝑏 un plus 𝑏 deux.

Faisons rapidement un point sur ce que nous avons fait jusqu’à présent. Nous avons ici cette équation, qui provient du théorème de Pythagore. Et cette équation nous dit comment calculer la norme de la force 𝐅 connaissant les valeurs des longueurs que nous avons appelées 𝑎 et 𝑏. Ensuite, nous avons aussi établi ces deux équations, qui nous disent comment déterminer 𝑎 et 𝑏 si nous connaissons les valeurs de 𝑎 un, 𝑎 deux, 𝑏 un et 𝑏 deux. Nous devons donc déterminer les valeurs de 𝑎 un, 𝑎 deux, 𝑏 un et 𝑏 deux. Nous utiliserons ensuite ces valeurs pour calculer les valeurs de 𝑎 et 𝑏. Et enfin, nous utiliserons les valeurs de 𝑎 et 𝑏 pour calculer la norme de la force 𝐅.

Pour déterminer les valeurs de 𝑎 un, 𝑎 deux, 𝑏 un et 𝑏 deux, nous allons devoir utiliser quelques formules trigonométriques. Considérons un triangle rectangle quelconque et supposons que la valeur de cet angle soit 𝜃. Nous avons appelé le côté du triangle qui est opposé à cet angle grand O comme opposé, le côté adjacent à l’angle grand 𝐴 comme adjacent et l’hypoténuse grand 𝐻 comme hypoténuse. Les deux formules dont nous allons avoir besoin sont celles-ci. Le première dit que cos 𝜃 est égal à 𝐴 divisé par 𝐻. C’est-à-dire que le cos de cet angle 𝜃 est égal à la longueur du côté qui lui est adjacent divisé par la longueur de l’hypoténuse.

La deuxième équation dit que sin 𝜃 est égal à 𝑂 divisé par 𝐻. C’est-à-dire que le sin de cet angle 𝜃 est égal à la longueur du côté opposé divisé par la longueur de l’hypoténuse. En regardant les triangles que nous avons appelés un et deux, nous pouvons voir que les longueurs que nous essayons de calculer sont les côtés adjacents et opposés de ces triangles. Nous devons donc modifier les deux équations pour exprimer 𝐴 et 𝑂 en fonctions des autres valeurs. Le processus est le même pour ces deux équations. Il faut simplement multiplier les deux côtés par l’hypoténuse 𝐻. Après cela, nous obtenons que le côté adjacent 𝐴 est égal à 𝐻 fois cos 𝜃 et que le côté opposé 𝑂 est égal à 𝐻 fois sin 𝜃.

Appliquons maintenant ces deux équations aux triangles un et deux, en commençant par le triangle un. Dans ce cas, la longueur de l’hypoténuse est de 70 newtons et l’angle qui correspond à 𝜃 est de 20 degrés. Ensuite, le côté adjacent, 𝑎 un, doit être égal à l’hypoténuse qui vaut 70 newtons multipliée par cos 20 degrés. De même, le côté opposé à l’angle, qui est 𝑏 un, doit être égal à 70 newtons, qui est l’hypoténuse, multipliée par sin 20 degrés. En calculant les deux expressions des côtés 𝑎 un et 𝑏 un, nous obtenons que 𝑎 un est égal à 65,778 newtons et 𝑏 un est égal à 23,941 newtons. Pour les deux résultats, les points de suspension sont utilisés pour indiquer qu’il y a des décimales supplémentaires.

Faisons un peu de place et procédons de même pour le triangle deux. Dans ce cas, l’hypoténuse a une longueur de 60 newtons et l’angle qui correspond à 𝜃 a une valeur de 70 degrés. Donc, nous avons que le côté adjacent 𝑎 deux est égal à 60 newtons multiplié par cos 70 degrés et que le côté opposé 𝑏 deux est égal à 60 newtons multiplié par sin 70 degrés. 𝑎 deux est égal à 20,521 newtons, et 𝑏 deux à 56,382 newtons. Maintenant que nous avons trouvé les valeurs de 𝑎 un, 𝑎 deux, 𝑏 un et 𝑏 deux, faisons de la place pour utiliser ces valeurs dans les deux équations permettant de calculer les valeurs de 𝑎 et 𝑏.

Nous savons que 𝑎 est égal à 𝑎 un plus 𝑎 deux. Nous remplaçons les valeurs de 𝑎 un et 𝑎 deux et après calcul, nous obtenons que 𝑎 est égal à 86,299 newtons. De la même manière, nous savons que 𝑏 est égal à 𝑏 un plus 𝑏 deux. Nous remplaçons les valeurs de 𝑏 un et 𝑏 deux et après calcul, nous obtenons que 𝑏 est égal à 80,323 newtons. Nous allons encore faire un peu de place et prendre les valeurs 𝑎 et 𝑏 pour les remplacer dans cette équation et calculer la norme de la force 𝐅.

Alors, nous avons donc la valeur de 𝑎 qui est le côté horizontal du triangle orange. Et nous avons la valeur de 𝑏, qui est le côté vertical du même triangle. Et nous avons l’équation du théorème de Pythagore, qui nous dit que l’hypoténuse de ce triangle, qui est la norme de la force 𝐅, est égale à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Remplaçons maintenant les valeurs de 𝑎 et 𝑏 et nous obtenons cette expression pour la norme de 𝐅.

En effectuant la somme sous la racine carrée, la norme de 𝐅 est égale à la racine carrée de 13899,30 newtons au carré. En prenant la racine carrée avec deux décimales, le résultat est de 117,90 newtons. Dans l’énoncé, il est demandé de donner une réponse arrondie au newton. En arrondissant ce résultat au newton, la réponse à la question est donc que la norme de la force 𝐅 est égale à 118 newtons.

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