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Vidéo question :: Évaluer la somme d’une série finie Mathématiques • Deuxième secondaire

Évaluez ∑_ (𝑟 = 3) ^ (5) - (8 / 𝑟).

03:24

Transcription de la vidéo

Évaluez la somme pour 𝑟 allant de trois à cinq de moins huit sur 𝑟.

Lorsque nous lisons cette notation, nous la lisons comme la somme pour 𝑟 allant de trois à cinq d’une certaine expression. Ici, cette expression est moins huit sur 𝑟. Et donc, ce que cette question nous demande en fait de trouver, c’est la somme de moins huit sur 𝑟 pour des valeurs de 𝑟 allant de trois à cinq inclus. Et il y a deux méthodes pour répondre à cette question. Considérons les deux méthodes. Commençons par évaluer l’expression moins huit sur 𝑟 lorsque 𝑟 est égal à trois, quatre et cinq. Lorsque 𝑟 est égal à trois, l’expression devient moins huit tiers. Faisons la même chose pour 𝑟 égal à quatre. Nous obtenons cette fois moins huit sur quatre, ce qui est bien sûr égal à moins deux. Et enfin, lorsque 𝑟 est égal à cinq, nous obtenons moins huit sur cinq. La somme de ces valeurs est ce que nous cherchons à évaluer et nous avons donc à calculer moins huit tiers plus moins deux plus moins huit cinquièmes.

Pour trouver la somme de ces expressions, nous devons créer un dénominateur commun. Le plus petit multiple commun de trois et cinq est 15, utilisons-le alors. Pour moins huit tiers, nous multiplions le numérateur et le dénominateur par cinq, ce qui nous donne moins 40 sur 15. Ensuite, pour moins deux, nous pouvons le voir comme moins deux sur un. Et lorsque nous multiplions le numérateur et le dénominateur par 15, nous obtenons moins 30 sur 15. Nous multiplions enfin huit et cinq par trois pour obtenir moins 24 sur 15. Ainsi, pour trouver la somme pour 𝑟 allant de trois à cinq de moins huit sur 𝑟, nous sommons les numérateurs. Moins 40 plus moins 30 plus moins 24 est égal à moins 94. Cette expression devient donc moins quatre-vingt-quatorze quinzièmes.

Cependant, nous avons dit qu’il y avait deux méthodes. L’autre méthode consiste à utiliser une calculatrice. Nous allons donc vérifier cette solution en utilisant notre calculatrice. Certaines calculatrices disposent de la fonctionnalité nous permettant de saisir la somme exactement telle que nous la voyons. Nous devrons effectuer cependant certaines manipulations. Si nous cherchons la somme des troisième, quatrième et cinquième termes de la suite dont le 𝑛ième terme est moins huit sur 𝑛, il s’ensuit que nous pouvons le faire en trouvant la somme des cinq premiers termes et d’en soustraire la somme des deux premiers. Cela nous laissera avec la somme des troisième, quatrième et cinquième termes.

Maintenant, notre expression est bien sûr en fonction de 𝑟 et non de 𝑛, mais autrement le processus est le même. Nous trouvons la somme pour 𝑟 allant de un à cinq de moins huit sur 𝑟. Et puis nous soustrayons la somme pour 𝑟 allant de un à deux de moins huit sur 𝑟. Eh bien, la somme pour 𝑟 allant de un à cinq de notre expression, selon notre calculatrice, est égale à moins 274 sur 15. Et la somme pour 𝑟 allant de un à deux est simplement égale à moins 12. Il convient de noter que nous pourrions être amenés à remplacer 𝑟 par 𝑥 lors de la saisie sur notre calculatrice, selon sa marque et son modèle. Nous devons donc maintenant calculer moins 274 sur 15 moins moins 12, ce qui nous donne encore une fois moins 94 sur 15. Nous avons donc évalué la somme pour 𝑟 allant de trois à cinq de moins huit sur 𝑟 comme égale à moins 94 sur 15.

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