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Vidéo de la leçon: Règles des puissances Mathématiques • Première préparatoire

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à appliquer les règles des puissances pour multiplier et diviser des puissances et calculer une puissance élevée à une puissance.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à appliquer les règles des puissances pour multiplier et diviser des puissances, et à calculer une puissance élevée à une certaine puissance. Nous allons récapituler les puissances et passerons en revue certaines questions, y compris une question qui ressemble à celle-ci. En utilisant les règles sur les puissances, nous verrons comment des questions comme celle-ci peuvent être beaucoup plus faciles à résoudre. Commençons par rappeler les principes de base des exposants ou des puissances.

Le petit nombre ici est souvent appelé l’exposant. Trois élevé à la quatrième puissance ou trois à la puissance quatre signifie que nous avons quatre trois tous multipliés ensemble. Nous pouvons calculer la valeur de ce nombre de plusieurs façons. Nous pourrions commencer par multiplier trois fois trois, ce qui donne neuf. En multipliant neuf par un autre trois, on obtient 27. Puis, en multipliant 27 par le dernier trois, on obtient 81. Ou bien nous pourrions avoir notre trois fois trois, ce qui donne neuf, et le multiplier par le deuxième trois fois trois, ce qui donne encore neuf. Et neuf fois neuf donne 81. Voyons donc ce qui se passe quand on multiplie deux valeurs comportant des puissances.

Complétez : moins deux à la puissance sept fois moins deux à la puissance cinq égale moins deux à la puissance quoi.

Dans cette question, on nous demande de trouver la puissance à laquelle moins deux dans la réponse serait élevé. Nous pouvons commencer par réfléchir à ce que serait la valeur de moins deux à la puissance sept. Cela signifierait que nous aurions moins deux sept fois. Et tout cela serait multiplié ensemble. De la même façon, moins deux à la puissance cinq signifie que nous avons moins deux cinq fois tous multipliés ensemble. Et notre moins deux à la puissance sept est multiplié par moins deux à la puissance cinq. Cela signifie donc que nos sept moins deux sont multipliés par nos cinq moins deux.

Combien avons-nous de moins deux au total maintenant ? Eh bien, maintenant, nous en avons 12, ce qui signifie que nous pourrions écrire cela comme moins deux à la puissance 12. Et donc notre puissance manquante est 12. Nous aurions également pu répondre à cette question en utilisant la règle des puissances selon laquelle 𝑥 à la puissance 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑏 égale 𝑥 à la puissance 𝑎 plus 𝑏. La valeur de 𝑥 dans la question serait moins deux ; nos deux puissances 𝑎 et 𝑏 sont sept et cinq. Ainsi, la valeur de notre puissance à la fin est égale à 𝑎 plus 𝑏 qui serait sept plus cinq, ce qui nous donne 12, confirmant notre réponse.

Dans cette question, nous avons vu notre première règle sur les puissances selon laquelle 𝑥 à la puissance 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑏 est égal à 𝑥 à la puissance 𝑎 plus 𝑏. Nous savons que cela est vrai car si nous écrivons notre premier 𝑥 à la puissance 𝑎 comme 𝑥 multipliés ensemble 𝑎 fois et notre deuxième valeur de 𝑥 à la puissance 𝑏 comme 𝑥 𝑏 fois, alors lorsque nous les additionnons, nous savons que nous aurons un total de 𝑎 plus 𝑏 de 𝑥. Comme ils seront tous multipliés ensemble, nous pouvons écrire cela comme 𝑥 à la puissance 𝑎 plus 𝑏.

Dans la question suivante, nous allons voir la division des valeurs comportant des puissances.

Est-ce que trois à la puissance 74 sur trois à la puissance 75 est supérieur, inférieur ou égal à trois ?

Commençons par réfléchir à ce que trois à la puissance 74 et trois à la puissance 75 impliquent réellement. Nous pouvons nous rappeler que, par exemple, trois à la puissance quatre signifie que nous en notons trois quatre fois et que nous les multiplions ensemble. Donc, trois à la puissance 74 signifie qu’il y aurait trois multipliés ensemble 74 fois. Trois à la puissance 75 signifie qu’il y aurait trois multipliés ensemble 75 fois. En fait, le calcul de la valeur de l’une ou l’autre de ces puissances prendrait beaucoup de temps. Et dans cette question, nous devons également diviser. Mais regardons ce qui se passe si nous annulons les valeurs du numérateur et du dénominateur.

Nous pourrions annuler les premiers trois et les deuxièmes trois et ainsi de suite jusqu’à ce que nous ayons annulé 74 trois au numérateur et au dénominateur, ce qui nous donnerait seulement trois au dénominateur. Nous savons que cela équivaudra à un tiers. Donc, trois à la puissance 74 sur trois à la puissance 75 égale un tiers. Mais il y a une autre façon de calculer cela. La règle du quotient des puissances nous dit que 𝑥 à la puissance 𝑎 sur 𝑥 à la puissance 𝑏 est égal à 𝑥 à la puissance 𝑎 moins 𝑏.

Ici, la valeur de 𝑥 serait trois et nos deux puissances 𝑎 et 𝑏 seraient 74 et 75. Notre réponse serait donc ici trois à la puissance 74 moins 75. Et cela équivaut à trois à la puissance moins un. Trois à la puissance moins un est l’inverse de trois, et c’est la même chose qu’un tiers. Notre question est de savoir si cela est supérieur, inférieur ou égal à trois. Un tiers est inférieur à trois. Et voilà notre réponse.

Nous pouvons nous arrêter une seconde et ajouter cette deuxième règle du quotient à nos règles sur les puissances. 𝑥 à la puissance 𝑎 sur 𝑥 à la puissance 𝑏 est égal à 𝑥 à la puissance 𝑎 moins 𝑏. Nous pouvons, bien sûr, voir la question équivalente écrite avec le signe de division à la place, 𝑥 à la puissance 𝑎 divisé par 𝑥 à la puissance 𝑏. La valeur sera toujours la même. Jusqu’à présent, nous avons vu ce qui se passe quand on multiplie des valeurs comportant des puissances et qu’on divise des valeurs comportant des puissances. Mais que se passe-t-il lorsque nous prenons la puissance d’une puissance ? Voyons cela dans la question suivante.

Déterminez la valeur de moins trois à la puissance trois fois trois au carré à la puissance trois.

Dans cette question, nous pouvons voir que nos valeurs ici sont des valeurs qui comportent des puissances. Il convient de noter que l’expression « déterminez la valeur » signifie que nous ne cherchons pas une réponse qui comporte une puissance. Par exemple, si nous trouvons qu’il s’agit de trois à la puissance trois, nous devons alors donner la réponse comme étant 27. Nous pouvons rappeler que moins trois à la puissance trois signifie que nous avons moins trois multipliés ensemble trois fois. Lorsque nous regardons trois au carré à la puissance trois, nous pouvons nous rappeler que trois au carré signifie trois fois trois. Et donc, écrire ceci à la puissance trois signifie que nous avons trois fois trois, trois fois.

Tout cela devient assez compliqué à dire. Comparons donc cela avec la règle que nous avons pour trouver la puissance d’une puissance. Dans ce cas, 𝑥 à la puissance 𝑎 à la puissance 𝑏 égale 𝑥 à la puissance 𝑎𝑏. Si nous regardons trois au carré à la puissance trois, trois ici est notre valeur de 𝑥. Notre réponse sera donc trois à la puissance deux fois trois, trois à la puissance six. Et nous avons effectivement écrit trois que nous avons multiplié six fois. Donc, calculons notre valeur lorsque nous avons moins trois à la puissance trois fois trois au carré à la puissance trois, ou trois à la puissance six.

Commençons par moins trois fois moins trois. Nous savons que deux valeurs négatives multipliées ensemble nous donnent une valeur positive, donc nous commençons avec neuf. Nous multiplions ensuite par le moins trois suivant, et neuf fois moins trois donne moins 27. En continuant à multiplier par trois, nous avons moins 27 fois trois, ce qui donne moins 81. Nous pouvons continuer à multiplier par trois en faisant descendre nos trois au fur et à mesure jusqu’à ce que nous arrivions à une réponse finale.

Il convient de noter qu’il y a bien sûr plusieurs façons de multiplier. Nous savons que moins trois fois moins trois fois moins trois est moins 27, et que trois fois trois fois trois est 27. Ainsi, en multipliant moins 27 par 27, nous obtenons moins 729, et en multipliant ce nombre par le dernier 27, nous obtenons aussi moins 19683. Et ce sera notre réponse finale pour la valeur de moins trois à la puissance trois fois trois au carré à la puissance trois.

Arrêtons-nous une minute pour mettre à jour nos notes. Nous avons vu que nous pouvons prendre la puissance d’une puissance, telle que 𝑥 à la puissance 𝑎 à la puissance 𝑏, en multipliant les puissances pour nous donner 𝑥 à la puissance 𝑎𝑏. Jusqu’à présent, dans cette vidéo, nous avons vu des nombres entiers élevés à une puissance. Maintenant, voyons des fractions élevées à une puissance.

Laquelle des fractions suivantes est égale à moins un et demi à la puissance trois fois moins et demi au carré ? Option (A) sept et 19 sur 32, option (B) moins sept et 19 sur 32, option (C) 32 sur 243, option (D) moins 3125 sur 1024, ou option (E) moins 243.

Dans cette question, on nous demande de multiplier ces deux valeurs comportant des puissances. Lorsque nous travaillons avec des fractions et que nous les écrivons avec des puissances, il est judicieux de s’assurer que les fractions sont écrites en tant que fractions impropres plutôt qu’un nombre fractionnaire. Dans ces deux cas, nous avons moins un et demi. Nous pouvons donc l’écrire comme moins trois sur deux à la puissance trois fois moins trois sur deux au carré.

Il est utile de se rappeler la loi du produit des puissances lorsqu’on multiplie une valeur 𝑥 à la puissance 𝑎 par 𝑥 par la puissance 𝑏. Ensuite, nous additionnons les puissances pour obtenir une valeur de 𝑥 à la puissance 𝑎 plus 𝑏. Dans ce cas, notre valeur de 𝑥 sera moins trois sur deux, et notre puissance peut être calculée en additionnant nos puissances trois et deux, ce qui nous donne cinq. Nous avons donc moins trois sur deux à la puissance cinq. Nous avons alors simplifié notre calcul pour donner une valeur avec une puissance. Cependant, si nous examinons les options de réponse, ce que nous cherchons ici, c’est de trouver la valeur de moins trois sur deux à la puissance cinq.

En décomposant ce que signifie le fait d’avoir moins trois sur deux à la puissance cinq, cela signifie que nous avons moins trois sur deux multipliés ensemble cinq fois. Comme remarque rapide, lorsque nous travaillons avec une fraction comme moins trois sur deux, il y a plusieurs façons d’écrire cela, premièrement, avec le signe négatif devant la fraction ou avec le moins trois sur le numérateur ou avec le signe négatif en bas pour faire moins deux. Bien que la forme finale soit mathématiquement correcte, nous avons tendance à avoir le signe négatif soit sur le numérateur, soit à l’extérieur de la fraction.

Pour en revenir au problème, on pourrait penser à une fraction géante avec moins trois multipliés cinq fois au numérateur et deux multipliés cinq fois au dénominateur. Donc, en calculant la valeur, moins trois fois moins trois est neuf. Un autre moins trois fois un autre moins trois est neuf. Neuf fois neuf donne 81. Et 81 fois moins trois nous donne moins 243 au numérateur. Au dénominateur, nous savons que deux fois deux font quatre, quatre fois quatre font 16, et fois encore deux on obtient 32 au dénominateur.

Nous devons maintenant écrire notre fraction impropre moins 243 sur 32 comme un nombre fractionnaire. Lorsque nous effectuons une division posée de 243 divisé par 32, nous obtenons sept avec un reste de 19. La valeur de sept représente la partie entière de notre réponse. Le reste constitue le numérateur de notre fraction. Et comme nous l’avons divisé par 32, ce sera notre dénominateur. Il ne faut pas oublier que nous avons divisé le nombre moins 243 par 32. Notre valeur sera donc moins sept et 19 sur 32. Nous pouvons voir que c’est la réponse donnée dans l’option (B).

Nous allons maintenant voir une dernière question sur les puissances.

Calculez moins trois et un cinquième à la puissance sept fois moins un et demi à la puissance six sur moins 16 sur cinq à la puissance six fois moins trois sur deux à la puissance quatre, en donnant votre réponse sous sa forme la plus simple.

Bien que cette question puisse paraître assez difficile, nous allons commencer par écrire les nombres fractionnaires comme des fractions impropres, et ensuite voir quelles règles sur les puissances nous pourrions appliquer. Commençons par le nombre fractionnaire moins trois et un cinquième. La partie entière du nombre trois est composée de trois cinq cinquièmes plus un cinquième restant, ce qui nous donnerait seize cinquièmes. Nous n’avions pas juste trois et un cinquième, c’était moins trois et un cinquième. Nous aurons donc moins seize sur cinq à la puissance sept.

Ensuite, moins un et demi équivaut à moins trois sur deux et c’est à la puissance six. Nous pouvons garder le dénominateur tel qu’il était car nos fractions sont ici impropres et non des membres fractionnaires. À ce stade, nous pouvons commencer à remarquer quelque chose dans ce que nous avons écrit. Nous pouvons voir que nous avons moins 16 sur cinq au numérateur et au dénominateur. Et nous avons également moins trois sur deux au numérateur et au dénominateur. À ce stade, nous pouvons commencer à réfléchir si nous pouvons annuler en haut et en bas de cette fraction.

Examinons la première partie de cette fraction. Nous pouvons utiliser la règle du quotient 𝑥 à la puissance 𝑎 sur 𝑥 à la puissance 𝑏 égale 𝑥 à la puissance 𝑎 moins 𝑏, parce que nous avons la même valeur, qui est élevée à une puissance. C’est notre valeur de 𝑥. Notre réponse aura notre 𝑥. C’est moins 16 sur 5 élevé à une puissance. Pour calculer cette puissance, nous avons sept moins six, ce qui nous donne un. Moins 16 sur cinq à la puissance un équivaut à moins 16 sur cinq.

Maintenant, simplifions la deuxième partie de cette fraction. En utilisant la même règle sur les puissances pour simplifier moins trois sur deux à la puissance six sur moins trois sur deux à la puissance quatre, ça nous donne moins trois sur deux au carré, en se rappelant que le carré vient de six moins quatre. Nous avons donc maintenant un calcul simplifié, moins 16 sur cinq fois moins trois sur deux au carré. Si nous regardons moins trois sur deux au carré, cela équivaut à moins trois au carré au numérateur et deux au carré au dénominateur. En effet, nous pouvons appliquer la règle sur les puissances 𝑥 sur 𝑦 à la puissance 𝑎 équivaut à 𝑥 à la puissance 𝑎 sur 𝑦 à la puissance 𝑎.

Simplifions donc ce que nous pouvons dans notre calcul. Moins trois au carré est neuf, et deux au carré est quatre. Nous pouvons multiplier les fractions en multipliant les numérateurs et les dénominateurs, mais avant cela, remarquez que nous pouvons simplifier cela. Quatre est un diviseur commun à la fois de moins 16 et de quatre. Nous calculons donc moins quatre fois neuf, ce qui donne moins 36. Et cinq fois un nous donne cinq. Notre réponse finale est donc moins 36 sur cinq. Ça aurait été aussi correct de donner notre réponse comme étant moins sept et un cinquième.

Nous pouvons maintenant résumer ce que nous avons appris dans cette vidéo. Nous avons vu qu’il existe un certain nombre de règles que nous pouvons utiliser lorsque nous travaillons avec des puissances. Les deux premières règles que nous avons vues couvrent ce qui se passe lorsque nous multiplions des valeurs comportant des puissances et lorsque nous divisons des valeurs comportant des puissances. Nous avons vu la règle couvrant ce qui se passe lorsque nous calculons la puissance d’une puissance. Dans ce cas, nous multiplions les puissances.

La dernière règle que nous avons vue couvre ce qui se passe lorsque nous avons une fraction élevée à une puissance 𝑎. Cela équivaudrait au numérateur et au dénominateur élevés tous deux à la puissance 𝑎. Et un dernier point est de se rappeler que si nous travaillons avec des nombres fractionnaires élevés à une puissance, alors veillez toujours à les changer en fractions impropres.

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