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Vidéo question :: Détermination de la tension d’une corde attachée à un corps sur une surface rugueuse inclinée pour que le corps soit à l’imminence du mouvement Mathématiques • Troisième secondaire

Un corps de poids 56 N est placé sur un plan rugueux incliné d'un angle de 30 ° par rapport à l’horizontale. Le coefficient de frottement entre le corps et le plan est √ (3) / 6. Le corps est tiré vers le haut par une corde faisant un angle de 30 ° par rapport à la pente du plan. Déterminez la tension minimale dans la corde requise pour que le corps soit sur le point de se déplacer vers le haut du plan.

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Transcription de la vidéo

Un corps de 56 newtons est au repos sur un plan rugueux incliné de 30 degrés par rapport à l’horizontale. Le coefficient de frottement entre le corps et le plan est racine de trois sur six. Le corps est tiré vers le haut par une corde faisant un angle de 30 degrés par rapport à la pente du plan. Déterminez la tension minimale dans la corde requise pour que le corps soit sur le point de se déplacer vers le haut du plan.

Il y a beaucoup d’informations ici, donc on va commencer par esquisser un schéma. On a un plan incliné de 30 degrés par rapport à l’horizontale. En effet, on nous dit que c’est un plan rugueux, donc on doit prendre en compte le frottement. Un corps de poids 56 newtons est au repos sur le plan. Cela signifie que la force vers le bas exercée par le corps sur le plan est de 56 newtons. On sait qu’il y va avoir une force de réaction qui agit dans le sens opposé. En effet, il agit perpendiculairement au plan. Appelons cela 𝑅.

On nous dit aussi que le corps est tiré vers le haut par une corde. Donc, il y a une force de tension ici. Et cette corde fait un angle de 30 degrés avec le plan. C’est comme indiqué sur notre schéma. Ensuite, on cherche à calculer la tension minimale dans la corde requise pour que le corps soit sur le point de se déplacer vers le haut du plan. En d’autres termes, le corps est en équilibre ; les forces agissant vers le haut et parallèles au plan doivent être égales aux forces agissant vers le bas et parallèles au plan.

Alors, en effet, il y a une autre force qui nous intéresse. Et c’est la force de frottement. Cela agit dans le sens opposé auquel le corps veut se déplacer. Donc, il agit vers le bas et parallèle au plan. On utilise finalement le fait que le frottement est 𝜇𝑅, où 𝜇 est le coefficient de frottement, qui vaut racine de trois sur six. Une fois qu’on identifie les forces pertinentes, notre travail consiste à résoudre la situation d’équilibre perpendiculaire et parallèle au plan.

On commence généralement par résoudre la composante perpendiculaire afin qu’on puisse trouver la valeur de 𝑅. Avant de le faire, traçons ces deux triangles rectangles. En le faisant, on peut trouver les composantes de la tension et du poids qui agissent parallèlement et perpendiculairement au plan.

On commence par regarder les forces qui agissent perpendiculairement au plan. Alors, le corps est au repos sur le plan. Cela signifie que les forces agissant vers le haut et perpendiculaires au plan doivent être égales aux forces agissant vers le bas et perpendiculaires au plan. Une autre façon de penser à cela est que la somme vectorielle de ces forces est égale à zéro.

Alors, regardons les forces agissant vers le haut et perpendiculaires au plan. On a 𝑅. C’est la force de réaction. On s’intéresse également à la composante de la tension qui agit perpendiculairement au plan. Appelons cela 𝑥. En fait, 𝑥 est le côté opposé de notre triangle rectangle. On a noté l’hypoténuse 𝑇. Et l’angle inclus est de 30 degrés. En utilisant le rapport du sinus, c’est-à-dire que sin 𝜃 est égal au côté opposé sur l’hypoténuse, on obtient l’équation sin 30 est égal à 𝑥 sur 𝑇. On multiplie les deux côtés de cette équation par 𝑇. Et on trouve que 𝑥, qui est la composante de la tension qui agit perpendiculairement au plan, est 𝑇 sin 30. Il agit dans le même sens que 𝑅. Donc, nous l’ajoutons. Alors, sin 30 est un demi. Donc, c’est un demi 𝑇.

Dans le sens opposé et perpendiculaire au plan on a la composante du poids. Alors, on marque cela 𝑦. Dans ce triangle rectangle, 𝑦 est le côté adjacent et l’hypoténuse est de 56 newtons. En utilisant le rapport cosinus, on a que cos 30 est égal à 𝑦 sur 56. Ainsi, la composante du poids qui agit perpendiculairement au plan doit être 56 fois cos 30. cos de 30 est la racine de trois sur deux. Donc, c’est 28 racine de trois. On soustrait cela parce que on sait que cela agit dans le sens opposé. Et puisque le corps est au repos, cela est égal à zéro.

Rappelons-nous qu’une façon équivalente d’écrire cela aurait été de dire que 𝑅 plus un demi 𝑇 égale 28 racine de trois. La somme des forces agissant vers le haut et perpendiculaire au plan est égale à la somme des forces agissant vers le bas et perpendiculaire au plan. Finalement on cherche à calculer la tension T. Donc, on va réorganiser cette équation pour trouver R.

𝑅 est égal à 28 racine de trois moins un demi 𝑇. Et vu qu’on a l’expression pour 𝑅, on va calculer les forces parallèles au plan. Rappelons-nous que le corps est sur le point de bouger, donc les forces agissant vers le haut et parallèles au plan doivent être égales aux forces agissant vers le bas et parallèles au plan. Ou bien, la somme vectorielle des forces est égale à zéro. Alors, voyons les forces qui agissent vers le haut du plan.

Eh bien, tout d’abord, on a la composante de la tension qui est parallèle au plan. On renomme le côté du triangle que l’on appelle 𝑥. Cette fois, c’est le côté adjacent de notre triangle. Ainsi, cos 30 est le côté adjacent sur l’hypoténuse, qui est 𝑥 sur 𝑇. Et donc, la composante de la tension qui agit parallèlement et vers le haut du plan est 𝑇 cos 30 ou racine de trois 𝑇 sur deux. C’est la seule force agissant vers le haut et parallèle au plan. Elle est égale aux forces agissant dans le sens opposé et parallèles au plan.

Eh bien, l’une d’entre elles est le frottement. Mais on sait bien que le frottement est 𝜇𝑅. On a également identifié que 𝜇, le coefficient de frottement, est la racine de trois sur six. Donc, on a racine de trois sur deux 𝑇 égale racine de trois sur six 𝑅. Et en fait, on peut remplacer 𝑅 par notre expression en termes de 𝑇. C’est 28 racine de trois moins un demi T.

Il y a cependant un autre élément qui nous intéresse. Et c’est la composante du poids qui agit parallèlement au plan. On renomme un côté du triangle et, cette fois, c’est celui que l’on appelle 𝑦. En utilisant le rapport de sinus, on trouve que sin 30 est égal à 𝑦 sur 56. Donc, 𝑦 est égal à 56 sin 30. On sait que sin 30 est un demi. Donc, on obtient 28. Rappelons-nous, cela agit dans le même sens que notre force de frottement.

Donc, on a en effet une équation en 𝑇. Développons nos parenthèses. On obtient 14 moins racine de trois sur 12𝑇 lorsque on multiplie chaque terme de notre parenthèse par racine de trois sur six. Le côté droit simplifie à 42 moins racine de trois sur 12. Et on va ajouter la racine de trois sur deux 𝑇 et la racine de trois sur 12𝑇. Donc, on va multiplier le numérateur et le dénominateur du premier par six. Et on obtient six racine de trois sur 12𝑇. Ensuite, lorsque on ajoute racine de trois 𝑇 sur 12 des deux côtés, on a sept racine de trois sur 12 𝑇 est égal à 42.

On veut bien calculer 𝑇, donc on va diviser les deux côtés par sept puis multiplier par 12. Ainsi, la racine de trois 𝑇 est égale à 72. Finalement, lorsque on divise par la racine de trois, on obtient 72 sur la racine de trois, ce qui simplifie en 24 racine de trois. Et on voit que la tension dans la corde est de 24 racine de trois newtons. Alors, c’est la tension minimale dans la corde. Si la tension était plus grande, alors les forces agissant vers le haut et parallèles au plan seraient supérieures aux forces agissant vers le bas et parallèles au plan. Et le corps commencera à se déplacer vers le haut.

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