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Vidéo de question : Déterminer toutes les valeurs possibles d’une constante telles que les racines d’une équation du second degré ne sont pas réelles Mathématiques

Sachant que les racines de l'équation 24𝑥² + 6𝑥 + 𝑘 = 0 sont non-réelles, déterminez l’intervalle qui contient 𝑘.

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Transcription de vidéo

Sachant que les racines de l'équation 24𝑥 au carré plus six 𝑥 plus 𝑘 égale zéro sont non-réelles, déterminez l’intervalle qui contient 𝑘.

Nous savons que les racines de cette équation du second degré, dans laquelle 𝑘 est le terme constant, ne sont pas réelles. Commençons donc par rappeler la relation entre les coefficients d’une équation du second degré et la nature de ses racines.

Supposons que nous avons l’équation du second degré générale 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro. Le discriminant de cette équation du second degré est la quantité 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐. La valeur ou, plus précisément le signe, du discriminant est ce qui détermine la nature des racines de l’équation du second degré.

Si le discriminant est strictement positif, alors l’équation du second degré a deux racines réelles et distinctes. Si le discriminant est égal à zéro, alors l’équation du second degré n’a qu’une seule racine réelle double. Et si le discriminant est strictement inférieur à zéro, alors l’équation du second degré n’a pas de racines réelles, ce qui correspond à la situation décrite dans l’énoncé.

Nous savons donc que le discriminant de cette équation du second degré doit être inférieur à zéro. Essayons donc de déterminer l’expression du discriminant en fonction de 𝑘. En comparant les coefficients de notre équation du second degré avec la forme générale, nous constatons que 𝑎 est égal à 24, 𝑏 est égal à six et 𝑐 est égal à 𝑘.

Par conséquent, le discriminant 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 est égal à six au carré moins quatre fois 24 fois 𝑘. Et cela se simplifie par 36 moins 96 𝑘. Rappelez-vous que les racines de cette équation du second degré ne sont pas réelles. Et que la valeur du discriminant est donc inférieure à zéro. Nous en déduisons ainsi que 36 moins 96 𝑘 est inférieur à zéro.

Afin de trouver l’intervalle qui contient 𝑘, nous devons résoudre cette inéquation de 𝑘. La première étape consiste à soustraire 36 à chaque membre. Cela nous donne moins 96 𝑘 est inférieur à moins 36. On divise ensuite les deux membres de l’inéquation par moins 96.

Mais nous devons être très prudents ici. On rappelle que lorsque l’on divise une inéquation par un nombre négatif, il faut inverser le sens de l’inéquation. Le signe « inférieur à » devient donc le signe « supérieur à ». Et on a maintenant 𝑘 est supérieur à moins 36 sur moins 96. Les signes négatifs du numérateur et du dénominateur s’annulent. Et la fraction se simplifie par trois sur huit, en divisant le numérateur et le dénominateur par 12.

Nous avons ainsi montré que 𝑘 est supérieur à trois sur huit. La question ne nous demande cependant pas de donner notre réponse sous forme d’inégalité. Nous devons donner l’intervalle qui contient 𝑘. Si 𝑘 doit être supérieur à trois sur huit, alors l’ensemble des valeurs possibles de 𝑘 va de trois sur huit à plus l’infini.

Comme la borne inférieure de l’intervalle est une inégalité stricte et que l’extrémité supérieure est plus l’infini, nous pouvons l’exprimer par un intervalle ouvert, ce qui est représenté par les crochets ouverts vers l’extérieur. 𝑘 appartient donc à l’intervalle ouvert de trois sur huit à plus l’infini.

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