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Vidéo de la leçon : Calcul de la vitesse à partir d’un graphique représentant la distance en fonction du temps Sciences

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer les vitesses à partir de graphiques distance-temps.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer les vitesses à partir de graphiques distance-temps. Commençons par rappeler ce qu’un graphique distance-temps nous montre. Un graphique distance-temps est un graphique qui mesure la distance sur l’axe des 𝑦 en fonction du temps sur l’axe des 𝑥. Si l’on inscrit des unités et une échelle numérique sur les deux axes du graphique, alors nous pouvons lire la distance et le temps pour un point donné sur le graphique.

Par exemple, considérons ce graphique ici. Nous supposerons que nous voulons lire les valeurs de distance et de temps pour ce point. Pour trouver la valeur du temps, nous traçons une ligne verticale vers le bas à partir du point jusqu’à ce que nous arrivions à l’axe des temps. Voilà donc l’axe horizontal ou l’axe des 𝑥. Nous lisons ensuite la valeur sur cet axe des temps au point où la droite verticale la rencontre. Dans ce cas, cette valeur est de quatre. Et nous pouvons voir que l’axe du temps est en secondes. Donc, le temps en ce point est égal à quatre secondes.

Pour trouver la valeur de la distance, nous revenons à ce point et traçons une ligne horizontale jusqu’à ce que nous arrivions à l’axe de la distance. Voilà donc l’axe vertical ou axe des 𝑦. En lisant la valeur sur l’axe des distances au point où cette droite la rencontre, nous constatons que cette valeur est de deux. Nous pouvons voir que l’axe des distances est en mètres. Nous avons donc lu sur le graphique que la distance en ce point est de deux mètres.

Bon, maintenant que nous avons rappelé ce qu’est un graphique distance-temps, réfléchissons à la grandeur physique qu’est la vitesse. On peut rappeler que la vitesse d’un objet est définie comme la distance parcourue par cet objet par unité de temps. Supposons que nous ayons un objet qui se déplace à une vitesse constante que nous appellerons 𝑣. Si nous savons que l’objet se déplace d’une distance 𝑑 en un temps 𝑡, alors la vitesse 𝑣 de cet objet est donnée par 𝑑 divisé par 𝑡.

Puisqu’un graphique distance-temps nous donne des informations sur la distance et le temps, il nous indique également la vitesse. On peut rappeler qu’une droite tracée par des points sur un graphique distance-temps représente une vitesse. En particulier, une ligne droite représente une vitesse constante. L’objet parcourt des distances égales en des durées égales. Ajoutons quelques unités et valeurs numériques aux axes de ce graphique pour en voir un exemple. Tout d’abord, regardons ce qui se passe entre un instant de zéro seconde et un instant d’une seconde. Nous pouvons voir qu’à zéro seconde, l’objet a parcouru une distance de zéro mètre. Nommons cette paire de valeurs de temps et de distance avec un indice un. Ensuite, à un instant de 𝑡 un égal à zéro seconde, l’objet a parcouru une distance de 𝑑 un égal à zéro mètre.

Ensuite, nous allons regarder le point sur le graphique avec une valeur de temps d’une seconde. Nommons cela avec un indice deux de sorte que nous ayons 𝑡 deux est égal à une seconde. Nous voulons trouver la distance que l’objet a parcouru à cet instant 𝑡 deux. Nous nommons cette distance 𝑑 deux. Pour trouver la valeur de 𝑑 deux, nous traçons une droite verticale à partir du temps de 𝑡 deux, qui est d’une seconde, jusqu’à ce que cette droite verticale rencontre la droite tracée sur le graphique. Ce point sur le graphique correspond alors à ce temps de 𝑡 deux égal à une seconde.

Ensuite, pour trouver la distance 𝑑 deux, on trace une droite horizontale à partir de ce point jusqu’à l’axe des distances. La droite touche l’axe à une valeur d’un, et l’axe des distances est en mètres. Ainsi, la valeur de 𝑑 deux est égale à un mètre. En d’autres termes, entre un temps 𝑡 un égal à zéro seconde et un temps 𝑡 deux égal à une seconde, l’objet parcourt une distance 𝑑 un égale à zéro mètre et une distance 𝑑 deux égale à un mètre.

Le temps pris entre ce point et ce point sur la courbe est égal au temps final, 𝑡 deux, moins le temps initial, 𝑡 un. Nous avons nommé ce temps pris Δ𝑡. Δ est une lettre grecque que nous utilisons généralement pour représenter une variation de grandeur. Dans ce cas, cette grandeur est le temps. Δ𝑡 est la variation de temps entre le temps 𝑡 un et le temps 𝑡 deux. En substituant nos valeurs pour 𝑡 un et 𝑡 deux, nous trouvons que Δ𝑡 est égal à une seconde moins zéro seconde, ce qui correspond à une seconde. De la même manière, nous pouvons définir la variation de distance parcourue entre ce point et ce point comme Δ𝑑 qui est égal à 𝑑 deux moins 𝑑 un. La substitution des valeurs de 𝑑 un et 𝑑 deux nous donne Δ𝑑 qui est égal à un mètre moins zéro mètre, soit un mètre.

Ainsi, nous avons vu plus tôt que si nous divisons la distance parcourue par un objet par le temps nécessaire pour parcourir cette distance, cela nous donne la vitesse de l’objet. Dans notre cas, Δ𝑑 est la distance parcourue entre ce point et ce point sur la courbe. Et Δ𝑡 est le temps entre ces deux mêmes points. Donc, entre ces deux points sur le graphique, l’objet a parcouru une distance de Δ𝑑 dans un temps de Δ𝑡. Cela signifie que nous pouvons écrire la vitesse de l’objet en fonction de la distance parcourue, Δ𝑑, divisée par le temps mis, Δ𝑡. Pour la section du graphique que nous avons examinée, nous avons Δ𝑑 qui est égal à un mètre et Δ𝑡 qui est égal à une seconde. En soustrayant ces valeurs dans cette expression pour la vitesse, nous constatons que 𝑣 est égale à un mètre divisé par une seconde. Cela correspond à une vitesse d’un mètre par seconde.

Alors, nous avons dit qu’une droite sur un graphique distance-temps représente une vitesse constante. Ce tracé-ci est clairement une droite. Vérifions donc qu’il représente réellement une vitesse constante. Nous avons déjà trouvé la vitesse entre zéro seconde et une seconde. Cette vitesse était d’un mètre par seconde. Vérifions maintenant que nous obtenons la même valeur en utilisant la partie du graphique comprise entre deux secondes et trois secondes. Tout d’abord, nous allons devoir libérer de l’espace pour continuer.

Donc, pour calculer la vitesse entre deux secondes et trois secondes, nous allons utiliser exactement la même approche que nous avons utilisé pour trouver cette vitesse entre zéro seconde et une seconde. La première étape consiste à trouver la distance parcourue à chacune des deux valeurs de temps. Nous traçons une ligne verticale à partir du temps de deux secondes jusqu’à ce que nous arrivions à la ligne tracée. Ensuite, nous traçons une droite horizontale vers l’axe des distances. Nous pouvons alors lire à partir du graphique qu’en deux secondes, l’objet a parcouru une distance de deux mètres. Nous nommerons ce temps 𝑡 un et cette distance 𝑑 un.

Maintenant, nous devons faire la même chose pour le temps de trois secondes. Nous constatons qu’en trois secondes, l’objet a parcouru une distance de trois mètres. Nous étiquetons cette deuxième paire de valeurs avec un indice deux. Tout comme nous le faisions auparavant, nous pouvons calculer la distance parcourue entre ce point du graphique et ce point. Cette distance parcourue, Δ𝑑, est égale à 𝑑 deux moins 𝑑 un. En substituant nos valeurs, nous obtenons que Δ𝑑 est égale à trois mètres moins deux mètres, soit un mètre.

De même, l’intervalle de temps entre les deux points, Δ𝑡, est égal à 𝑡 deux moins 𝑡 un. De nouveau, en substituant nos valeurs, nous obtenons que Δ𝑡 est égale à trois secondes moins deux secondes, ce qui fait une seconde. Utilisons maintenant cette équation pour calculer la vitesse de l’objet entre les deux points. Lorsque nous substituons nos valeurs pour Δ𝑑 et Δ𝑡, nous obtenons que la vitesse 𝑣 est égal à un mètre divisé par une seconde. Cela correspond à une vitesse d’un mètre par seconde.

Nous avons donc examiné deux parties différentes du graphique et calculé la même vitesse d’un mètre par seconde dans chaque cas. En fait, peu importe la partie du graphique que nous aurions utilisée, nous aurions obtenu le même résultat. Ce tracé représente un objet se déplaçant à une vitesse constante d’un mètre par seconde. Pour calculer cette vitesse, nous avons calculé la pente de la droite sur le graphique.

La pente d’une droite, également appelée gradient de la droite, est définie comme la variation de la coordonnée verticale entre deux points de cette droite divisée par la variation de la coordonnée horizontale entre les deux mêmes points. C’est exactement ce que nous avons calculé pour trouver la vitesse 𝑣. Δ𝑑 est la variation de distance ou de la coordonnée verticale. Et nous avons divisé cela par Δ𝑡, qui est le changement de temps ou de la coordonnée horizontale. Ainsi, la pente d’une droite sur un graphique distance-temps nous indique la vitesse de l’objet. Nous avons calculé que cette droite orange a une pente ou une vitesse d’un mètre par seconde.

Maintenant, considérons ce tracé rose que nous avons ajouté. Puisqu’il s’agit d’une ligne droite, nous savons qu’elle représente une vitesse constante. Cela signifie que nous pouvons utiliser n’importe quelle partie de la ligne pour déterminer la vitesse. Considérons la partie entre zéro seconde et une seconde. Nous appellerons ces temps 𝑡 un et 𝑡 deux, respectivement. Nous pouvons voir sur le graphique qu’à zéro seconde, l’objet a parcouru une distance de zéro mètre. Nous appellerons cette distance 𝑑 un. En une seconde, l’objet a parcouru une distance de deux mètres. Nous appellerons cette distance 𝑑 deux.

Nous voulons trouver la pente de la droite ou la vitesse de l’objet, qui est égale à la variation de distance, Δ𝑑, divisée par la variation de temps, Δ𝑡. Δ𝑑 est égale à 𝑑 deux moins 𝑑 un, tandis que Δ𝑡 vaut 𝑡 deux moins 𝑡 un. En substituant nos valeurs et en évaluant les expressions, nous constatons que Δ𝑑 est de deux mètres et Δ𝑡 est d’une seconde. Alors, 𝑣 est égale à la pente Δ𝑑 divisée par Δ𝑡. Pour nos valeurs, il s’agit de deux mètres divisés par une seconde. Cela équivaut à deux mètres par seconde.

Donc, sur ce graphique distance-temps, nous avons constaté que la ligne orange représente une vitesse d’un mètre par seconde, tandis que la ligne rose représente une vitesse de deux mètres par seconde. La ligne rose a une plus grande pente, et donc une plus grande vitesse. Sans aucun calcul, nous pouvons voir que la ligne rose est plus raide que la ligne orange. Pour deux droites tracées sur le même graphique distance-temps, la pente la plus raide a le plus grand gradient et correspond donc à la vitesse la plus élevée.

La même logique s’applique lorsque nous avons un graphique distance-temps comme celui-ci, où la droite a différentes sections avec différentes inclinaisons. Sans calculs, nous pouvons regarder ce graphique et voir que la droite est la plus raide entre zéro seconde et une seconde. Ce segment du tracé a donc la plus grande pente. Et nous pouvons donc dire que l’objet a la plus grande vitesse entre zéro seconde et une seconde. Cependant, pour deux droites tracées sur des graphiques distance-temps différents, la pente des droites n’est pas nécessairement égale à leur raideur apparente.

Par exemple, considérons ces deux graphiques distance-temps. Celui de gauche est le même que le premier graphique que nous avons examiné. Nous avons déjà déterminé que la pente est d’un mètre par seconde. Le tracé du graphique de droite semble plus raide que celui du graphique de gauche. Calculons maintenant la pente de ce tracé de droite. Nous pouvons rappeler que la pente est le changement de coordonnées verticales, la distance, divisé par le changement de coordonnées horizontales, le temps. Considérons la partie du graphique entre ces deux points sur l’axe du temps. En lisant l’échelle sur l’axe du temps, nous voyons que le premier point est à un instant de zéro seconde et le deuxième point est à un instant de 10 secondes. L’intervalle de temps Δ𝑡 entre les deux points est égal au deuxième temps, 10 secondes, moins le premier temps, zéro seconde. Cela équivaut à 10 secondes.

Nous pouvons voir sur le graphique qu’à zéro seconde la distance parcourue est de zéro mètre et qu’à 10 secondes la distance parcourue est de trois mètres. Cela signifie que la distance Δ𝑑 déplacée dans le temps Δ𝑡 est égale à trois mètres moins zéro mètre. Cela équivaut à trois mètres. La pente de ce graphique, Δ𝑑 divisé par Δ𝑡, est donc égale à trois mètres divisés par 10 secondes, soit 0,3 mètres par seconde.

Malgré le fait que le graphique distance-temps de droite semble plus raide que le graphique de gauche, la pente du graphique de droite a une valeur plus petite que la pente de celle de gauche. Le graphique de droite représente donc une vitesse plus petite. La raison pour laquelle cela était possible est que les deux graphiques ont des échelles différentes sur l’axe des temps. Lorsque nous utilisons cette équation pour calculer la pente, nous utilisons les valeurs numériques des axes. Donc, cette pente prend en compte les échelles des axes. Cependant, ce n’est pas le cas lorsque nous regardons la raideur du tracé. Nous devons donc être très prudents lorsque nous comparons des lignes tracées sur différents ensembles d’axes. Et, en général, chaque fois que nous calculons une pente, il est important de vérifier les échelles sur chacun des deux axes.

D’accord, finissons en résumant ce que nous avons appris. Tout d’abord, nous avons rappelé qu’un graphique distance-temps trace la distance sur l’axe vertical par rapport au temps sur l’axe horizontal et qu’une droite sur un graphique distance-temps représente un objet qui se déplace à une vitesse constante. Nous avons ensuite vu que la pente d’une droite sur une courbe est définie comme la variation de la coordonnée verticale entre deux points, divisée par la variation de la coordonnée horizontale entre les deux mêmes points.

Dans ce cas, la coordonnée verticale est la distance et la coordonnée horizontale est le temps. Ainsi, la pente d’une droite sur un graphique distance-temps est la variation de distance, Δ𝑑, divisée par la variation de temps, Δ𝑡. Nous avons appris que la pente est égale à la vitesse de l’objet. Nous avons ensuite vu que pour deux droites tracées sur le même graphique distance-temps, la droite la plus raide a la plus grande pente et représente donc la plus grande vitesse. Cependant, cela n’est pas nécessairement vrai pour les droites tracées sur des graphiques distance-temps différents, car les deux graphiques pourraient avoir des échelles d’axe différentes.

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