Vidéo question :: Simplifier une expression comportant des puissances | Nagwa Vidéo question :: Simplifier une expression comportant des puissances | Nagwa

Vidéo question :: Simplifier une expression comportant des puissances Mathématiques • Deuxième secondaire

Simplifiez ((36) ^ (1/4) × (21) ² × (8) ^ (1/5)) / ((486) ^ (1/10) × (42) ³).

08:42

Transcription de la vidéo

Simplifiez 36 élevé à la puissance un quart fois 21 au carré multiplié par huit à la puissance un cinquième le tout divisé par 486 à la puissance un sur 10 fois 42 au cube.

Dans cette question, on nous demande de simplifier une expression comportant des produits et des quotients de puissances. Pour ce faire, nous allons devoir utiliser les propriétés des exposants. Nous pourrions le faire en une fois. Il est cependant plus facile de le faire facteur par facteur. Cela rend beaucoup moins probable le risque que nous fassions une erreur. Commençons par le premier facteur du numérateur. Il s’agit de 36 à la puissance un quart.

Pour simplifier ceci, nous allons d’abord décomposer la base 36 en produit de facteurs premiers. La raison pour le faire est que nous devons simplifier une expression complète comportant des produits et des quotients de puissances. Pour utiliser les propriétés des exposants pour simplifier une expression, nous avons besoin que les exposants ou que les bases soient les mêmes. Nous devrions donc essayer de rendre les bases de chacun de ces facteurs aussi simples que possible. Voila pourquoi nous devons trouver la décomposition en produit de facteurs premiers des bases.

Nous voyons que 36 est égal à six au carré et six est égal à deux fois trois. Nous pouvons donc écrire 36 comme deux au carré multiplié par trois au carré, ce qui signifie que nous pouvons réécrire ce facteur comme deux au carré fois trois au carré le tout élevé à la puissance un quart. Nous voulons écrire ceci sous forme de puissances de bases deux et trois. Ainsi, pour ce faire, nous allons avoir besoin d’utiliser les propriétés des exposants. Puisque nous élevons un produit à une puissance, nous utiliserons le résultat énonçant que 𝑎 fois 𝑏 le tout élevé à la puissance 𝑛 est égal à 𝑎 à la puissance 𝑛 multiplié par 𝑏 à la puissance 𝑛. Notre valeur de 𝑎 est deux au carré. Notre valeur de 𝑏 est trois au carré. Notre valeur de 𝑛 est un quart. Cela nous donne donc deux au carré à la puissance un quart multiplié par trois au carré à la puissance un quart.

Enfin, pour les écrire sous la forme de puissances, nous devons remarquer que nous élevons une puissance à la puissance d’un autre exposant. Nous savons que lorsque nous faisons ceci, nous devons prendre le produit des exposants. 𝑎 à la puissance 𝑛 le tout élevé à la puissance 𝑚 est égal à 𝑎 à la puissance 𝑛 fois 𝑚. Puisque deux fois un quart est égal à un demi, nous pouvons simplifier ceci pour obtenir deux à la puissance un demi fois trois à la puissance un demi.

Il convient de noter ici que nous pourrions réécrire cela en utilisant des racines. Cependant, nous allons utiliser cette forme pour simplifier l’expression qui nous est donnée dans la question. Cela signifie que nous allons probablement devoir appliquer les propriétés des exposants, ce qui signifie que nous devrons recourir à des opérations arithmétiques sur les exposants. Il est donc plus facile de les laisser sous forme de fractions. Passons maintenant au deuxième facteur du numérateur. Il s’agit de 21 au carré. Nous pouvons suivre un processus très similaire pour réécrire ce facteur. Premièrement, nous trouvons la décomposition en produit de facteurs premiers de 21. Nous obtenons trois fois sept.

Maintenant, nous appliquons une fois de plus nos propriétés des exposants pour distribuer l’exposant sur le produit. Trois fois sept le tout au carré est égal à trois au carré fois sept au carré. Maintenant, nous pouvons appliquer un processus similaire au troisième facteur de notre numérateur. Premièrement, nous décomposons la base huit en produit de facteurs premiers pour obtenir deux au cube, ce qui signifie que nous pouvons réécrire ceci comme deux au cube le tout élevé à la puissance un cinquième. Ensuite, nous pouvons utiliser l’une de nos propriétés des exposants pour simplifier ceci en une puissance de base deux. Deux à la puissance trois le tout élevé à la puissance un cinquième est égal à deux à la puissance trois fois un cinquième soit deux à la puissance trois sur cinq.

Passons maintenant au premier facteur de notre dénominateur. Nous suivrons le même processus que celui appliqué aux autres facteurs. Tout d’abord, nous devons décomposer 486 en un produit de facteurs premiers. Si nous faisons cela, nous verrons que cela est égal à deux fois trois à la puissance cinq. Par conséquent, ce facteur se simplifie pour nous donner deux fois trois à la puissance cinq le tout élevé à la puissance un sur 10. Maintenant, puisque nous élevons un produit à la puissance d’un exposant, nous pouvons utiliser nos propriétés des exposants pour distribuer l’exposant sur le produit. Nous obtenons ainsi deux à la puissance un sur 10 multiplié par trois à la puissance cinq élevé à la puissance un sur 10.

Maintenant, nous pouvons simplifier davantage en remarquant que nous élevons trois à la puissance cinq et que nous élevons le tout à la puissance un sur 10. Selon nos propriétés des exposants, ceci sera égal à trois à la puissance cinq fois un sur 10. Puis, cinq sur 10 est égal à un demi. Ce facteur se simplifie donc pour nous donner deux à la puissance un sur 10 multiplié par trois à la puissance un demi.

Passons enfin au dernier facteur de notre dénominateur. Tout d’abord, nous décomposons 42 en un produit de facteurs premiers pour obtenir deux fois trois fois sept. Ensuite, nous utilisons nos propriétés des exposants pour distribuer l’exposant sur notre produit. Nous obtenons ainsi deux au cube fois trois au cube fois sept au cube. Nous allons maintenant devoir remplacer par tout ceci dans l’expression qui nous est donnée dans la question. Pour ce faire, commençons par libérer de l’espace et gardons une trace des simplifications que nous avons déjà apportées. Maintenant, tout ce que nous devons faire est de remplacer les facteurs par leurs simplifications dans l’expression qui nous est donnée dans la question. Cela nous donne alors l’expression suivante. Nous avons des produits et des quotients de puissances où les bases sont tous des nombres premiers et les exposants des nombres rationnels.

Nous pouvons simplifier ceci de différentes manières en utilisant les propriétés des exposants. La manière avec laquelle nous le ferions relève de la préférence personnelle. Nous allons commencer par réécrire cette expression en regroupant tous les facteurs de mêmes bases. Par exemple, au numérateur, nous avons deux facteurs avec la base deux. Il s’agit de deux à la puissance un demi et de deux à la puissance trois sur cinq. Au dénominateur, nous avons deux facteurs avec la base deux : deux à la puissance un sur 10 et deux au cube. Nous pouvons donc sortir tous ces facteurs pour nous donner l’expression suivante. Nous devons ensuite multiplier ceci par le reste de l’expression et nous pouvons à nouveau sortir tous les facteurs ayant comme base trois. Enfin, nous multiplions cela par les facteurs restants ayant comme base sept. Cela nous donne l’expression suivante.

Il n’est pas nécessaire de réaliser cette étape. Cependant, elle permet de voir beaucoup plus facilement comment nous devrions simplifier cette expression. Tout d’abord, nous voyons que nous avons des produits de puissances de mêmes bases. Pour les évaluer, nous devons additionner les exposants. 𝑎 à la puissance 𝑛 fois 𝑎 à la puissance 𝑚 est égal à 𝑎 à la puissance 𝑛 plus 𝑚. Nous pourrions utiliser ceci pour simplifier les numérateurs et les dénominateurs. Nous pourrions cependant également utiliser le fait que lorsque nous prenons le quotient de puissances de même base, nous effectuons une soustraction des exposants. 𝑎 à la puissance 𝑛 divisé par 𝑎 à la puissance 𝑚 est égal à 𝑎 à la puissance 𝑛 moins 𝑚. Cela signifie que nous pouvons appliquer ces deux étapes en même temps. Nous devons additionner les exposants au numérateur et puis soustraire les exposants au dénominateur.

Seulement, rappelez-vous qu’il s’agit d’une préférence personnelle. Nous pourrions simplifier les numérateurs et les dénominateurs séparément si nous le préférions. Nous appliquerons ici les deux étapes en même temps. Cela signifie que nous devons additionner les exposants du numérateur et soustraire les exposants du dénominateur. Nous obtenons deux à la puissance un demi plus trois cinquièmes moins un dixième moins trois. Nous pouvons alors appliquer la même méthode pour simplifier notre deuxième quotient. Nous obtenons trois à la puissance un demi plus deux moins un demi moins trois. Pour notre troisième et dernier quotient, nous avons sept au carré divisé par sept au cube. Nous devons trouver la différence entre les exposants. Ceci nous donne ainsi sept à la puissance deux moins trois.

Maintenant, nous allons simplement évaluer les expressions dans les exposants. Nous obtenons deux à la puissance moins deux multiplié par trois à la puissance moins un multiplié par sept à la puissance moins un. Nous pouvons simplifier davantage en utilisant la propriété suivante des exposants. 𝑎 à la puissance moins 𝑛 est égal à un divisé par 𝑎 à la puissance 𝑛. Cela nous donne donc un sur deux au carré fois un sur trois fois un sur sept, que nous pouvons évaluer. Nous obtenons un divisé par 84, ce qui est notre réponse finale. Par conséquent, nous avons pu simplifier l’expression comportant des puissances et qui nous a été donnée dans la question en utilisant les propriétés des exposants. Nous avons montré qu’elle était égale à un divisé par 84.

Rejoindre Nagwa Classes

Assistez à des séances en direct sur Nagwa Classes pour stimuler votre apprentissage avec l’aide et les conseils d’un enseignant expert !

  • Séances interactives
  • Chat et messagerie électronique
  • Questions d’examen réalistes

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site web. Apprenez-en plus à propos de notre Politique de confidentialité