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Vidéo question :: Simplifier une expression comportant des exposants Mathématiques • Deuxième secondaire

Simplifiez ((0,8)^(1/4) × (36)^(1/8) × (5)^(3/4))/((30)^(–7/4) × (1,25)^(1/4)).

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Transcription de la vidéo

Simplifiez 0,8 puissance un sur quatre fois 36 puissance un sur huit fois cinq puissance trois sur quatre le tout divisé par 30 puissance moins sept sur quatre fois 1,25 élevé à la puissance un quart.

Dans cette question, on nous demande de simplifier une expression comportant des produits et quotients d’expressions exponentielles. Cela signifie que nous allons devoir simplifier cette expression en utilisant les lois des exposants. Cependant, nous remarquons qu’il s’agit d’une expression très compliquée. Donc au lieu de cela, simplifions chaque facteur du numérateur et du dénominateur séparément. Nous pouvons alors utiliser cela pour simplifier l’expression entière à la fin. Commençons par le premier facteur du numérateur. C’est 0,8 puissance un quart.

Lors de la simplification d’expressions de cette forme, il est généralement judicieux d’écrire la base sous forme de fraction. Et cela nous donne quatre sur cinq, le tout puissance un quart. Ensuite, nous devrions décomposer le numérateur et le dénominateur de notre fraction en facteurs premiers. Et la raison pour cela est que les lois des exposants exigent généralement soit la même base, soit le même exposant lors de la simplification. Par conséquent, le moyen le plus simple pour simplifier une expression impliquant de nombreuses bases différentes est d’essayer de rendre les bases aussi simples que possible. Nous faisons cela en les décomposant en facteurs premiers. Puisque quatre est égal à deux au carré et que cinq est un nombre premier, cela nous donne deux au carré sur cinq, le tout puissance un quart.

Et maintenant, nous pouvons simplifier davantage en utilisant les lois des exposants. Nous rappelons que 𝑎 sur 𝑏 le tout puissance 𝑛 est égal à 𝑎 puissance 𝑛 divisé par 𝑏 puissance 𝑛. Dans notre cas, la valeur de 𝑎 est deux au carré, la valeur de 𝑏 est cinq et 𝑛 est égale à un quart. Cela nous donne deux au carré, le tout puissance un quart, divisé par cinq puissance un quart.

Et finalement, nous pouvons simplifier le numérateur de cette expression en remarquant que nous élevons deux à la puissance deux, puis le tout à la puissance un quart. Et lorsque nous élevons une base à un exposant et élevons le tout à un exposant, nous multiplions les exposants. En fait 𝑎 puissance 𝑛 le tout puissance 𝑚 est égale à 𝑎 puissance 𝑛 fois 𝑚. Et deux fois un quart est égal à un demi. Donc cela nous donne deux puissance un demi divisé par cinq puissance un quart. Et nous pourrions réécrire cela en utilisant des radicaux. Cependant, lorsque nous simplifions des expressions exponentielles, il est généralement judicieux de laisser les exposants sous forme de nombres. Cela facilitera la simplification plus tard, car nous devrons peut-être effectuer des opérations arithmétiques sur les exposants.

Maintenant, nous pouvons passer au deuxième facteur de notre numérateur. Pour ce faire, nous allons commencer par libérer de l’espace. Nous devons simplifier 36 puissance un huitième. Nous ferons cela en utilisant un processus similaire. Tout d’abord, nous allons décomposer la base en facteurs premiers. 36 est égale à deux au carré fois trois au carré. Cela nous donne deux au carré fois trois au carré, le tout puissance un huitième. Et maintenant que notre base est un produit, nous pouvons distribuer l’exposant sur ce produit. En fait 𝑎 fois 𝑏 le tout puissance 𝑛 est égal à 𝑎 puissance 𝑛 fois 𝑏 puissance 𝑛. Cela nous donne deux au carré puissance un sur huit fois trois au carré puissance un sur huit.

Et enfin, puisque chaque facteur est une base élevée à un exposant, le tout élevé à un autre exposant, nous pouvons simplifier chaque facteur en multipliant les exposants. Dans les deux facteurs, nous obtenons un nouvel exposant de deux fois un sur huit, soit un quart. Donc cela nous donne deux puissance un quart fois trois puissance un quart. Maintenant, nous essayons de simplifier le troisième facteur de notre numérateur. Cependant, la base est déjà un nombre premier et l’exposant est déjà rationnel. Donc ce facteur est déjà simplifié.

Passons maintenant au premier facteur du dénominateur. Libérons de l’espace. Cependant, ce processus de simplification va suivre exactement le même processus que pour 36 puissance un sur huit. Tout d’abord, nous décomposons la base en facteurs premiers. Nous remarquons que 30 est égal à deux fois trois fois cinq. Ensuite, nous utilisons les lois sur les exposants pour distribuer l’exposant sur ce produit. Cela nous donne deux puissance moins sept sur quatre fois trois puissance moins sept sur quatre fois cinq puissance moins sept sur quatre. Et ceci est maintenant un produit de bases avec exposants rationnels où toutes les bases sont des nombres premiers. Nous n’avons donc pas besoin de simplifier davantage.

Nous pouvons en fait suivre un processus très similaire pour simplifier le facteur final du dénominateur. Encore une fois, nous allons commencer par écrire la base sous forme de fraction, puis décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers. Cela nous donne cinq divisé par deux au carré, le tout puissance un quart. Maintenant, nous voulons distribuer l’exposant à travers nos parenthèses. Et pour ce faire, nous rappelons que 𝑎 sur 𝑏 le tout puissance 𝑛 est égale à 𝑎 puissance 𝑛 divisé par 𝑏 puissance 𝑛. Cela nous donne alors cinq puissance un quart divisé par deux au carré, le tout puissance un quart. Et dans notre dénominateur, nous avons deux élevé à un exposant élevé à un autre exposant.

Rappelez-vous, ce sera la même chose que deux élevé à la puissance du produit des exposants : deux puissance deux fois un quart, qui est égal à deux puissance un demi. Par conséquent, notre facteur final se simplifie en cinq puissance un quart divisé par deux puissance un demi.

Maintenant que nous avons simplifié toutes ces expressions, libérons de l’espace pour pouvoir les substituer dans notre expression. Nous voulons substituer toutes ces expressions à la fois ; cependant, cela nous donnera une expression très compliquée. Au lieu de cela, nous remarquons que 0,8 puissance un quart est dans notre numérateur. Ainsi, lorsque nous substituons dans l’expression deux puissance un demi le tout divisé par cinq puissance un quart, nous pouvons au lieu de cela ajouter un facteur de deux puissance un demi au numérateur et un facteur de cinq puissance un quart au dénominateur. Et c’est tout simplement parce que diviser le numérateur par cinq puissance un quart revient à multiplier le dénominateur par cinq puissance un quart.

Nous pouvons faire quelque chose de similaire pour 1,25 puissance un quart dans notre dénominateur. Au lieu de simplement substituer cinq puissance un quart divisé par deux puissance un demi, nous pouvons ajouter un facteur cinq puissance un quart au dénominateur et un facteur deux puissance un demi au numérateur. En effet, diviser le dénominateur par deux puissance un demi revient à multiplier le numérateur par deux puissance un demi. Par conséquent, si nous substituons ces expressions et réorganisons légèrement, nous obtenons l’expression suivante. Et cela est maintenant le produit et le quotient d’expressions exponentielles avec des bases premières et des exposants rationnels. Ceci nous permettra maintenant de simplifier cette expression en utilisant les lois sur les exposants.

Nous pourrions simplifier cette expression globalement ; cependant, nous simplifierons le numérateur et le dénominateur séparément. Tout d’abord, nous rappelons que si nous multiplions deux expressions exponentielles avec la même base, nous ajoutons les exposants. En fait 𝑎 puissance 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑚 égale 𝑎 puissance 𝑛 plus 𝑚. Nous pouvons utiliser cela pour simplifier notre numérateur. Nous avons deux puissance un demi fois deux puissance un quart fois deux puissance un demi. Nous devons ajouter ces exposants. Soit un demi plus un quart plus un demi. Et si nous calculons un demi plus un quart plus un demi, c’est égal à cinq sur quatre. Donc ce facteur se simplifie pour donner deux puissance cinq sur quatre.

Nous pouvons ensuite utiliser cette règle pour simplifier les facteurs de base trois ou cinq dans notre numérateur puisque ces bases n’apparaissent qu’une seule fois comme facteurs. Nous allons donc laisser ces facteurs tels qu’ils sont pour l’instant dans le numérateur. Et nous obtenons quelque chose de très similaire au dénominateur. Les bases deux et trois n’apparaissent qu’une seule fois. Nous allons donc laisser ces deux facteurs tels quels pour l’instant. Nous pouvons utiliser cette règle pour simplifier tous les facteurs du dénominateur de base cinq. Nous utilisons la même règle. Puisque les bases de ces trois nombres sont toutes les mêmes, nous pouvons ajouter leurs exposants. Soit un quart plus moins sept sur quatre plus un quart, ce qui donne après calcul, moins cinq sur quatre. Par conséquent, nous pouvons simplifier ce facteur dans notre dénominateur en cinq puissance moins cinq sur quatre. Cela nous donne l’expression suivante.

Et maintenant, nous remarquons que nous calculons le quotient d’expressions exponentielles ayant la même base. Et nous pouvons simplifier cela en utilisant nos lois sur les exposants. Soit 𝑎 puissance 𝑛 divisé par 𝑎 puissance 𝑚 égale 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑚. Nous obtenons la différence des exposants. Et il convient de souligner que nous aurions pu appliquer ces deux étapes en même temps. Par exemple, pour trouver le facteur deux, nous devrons ajouter tous les exposants de deux au numérateur, puis soustraire tous les exposants de deux au dénominateur. Cependant, l’approche que vous souhaitez utiliser est une préférence personnelle.

Commençons par utiliser cela pour simplifier deux puissance cinq sur quatre divisé par deux puissance moins sept sur quatre. Nous devons soustraire les exposants. Nous obtenons cinq quarts moins moins sept sur quatre, ce qui donne après calcul 12 sur quatre, soit trois. Par conséquent, nous obtenons un facteur de deux au cube. Nous pouvons faire la même chose avec trois puissance un quart divisé par trois puissance moins sept sur quatre. Nous trouvons la différence des exposants. Il s’agit de huit divisé par quatre, ce qui est égal à deux. Et cela est l’exposant de trois, donc nous obtenons un facteur de trois au carré.

Enfin, nous ferons de même avec notre base cinq. Trois quarts moins moins cinq quarts égale à huit quarts, ce qui est égal à deux. Par conséquent, nous avons un facteur cinq au carré dans notre réponse. C’est deux au cube fois trois au carré fois cinq au carré. Et enfin, nous pouvons calculer cette expression. Nous rappelons que deux au cube est égale à deux fois deux fois deux, trois au carré égale à trois fois trois et cinq au carré égale à cinq fois cinq, ce qui donne après calcul 1800, qui est notre réponse finale.

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