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Vidéo de question : Déterminer un terme du développement d’une puissance d’un binôme Mathématiques

Déterminez le troisième terme dans le développement de (4𝑥 + 3)³.

02:25

Transcription de vidéo

Déterminez le troisième terme dans le développement de quatre 𝑥 plus trois au cube.

Si nous considérons cette expression comme 𝑎 plus 𝑏 puissance 𝑛, nous pouvons penser à la formule du binôme de Newton pour la développer. Elle peut nous aider à trouver n’importe quel terme du développement. Et cette formule stipule que le terme 𝑟 plus un est égal à 𝑛 𝐶 𝑟 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑟 fois 𝑏 puissance 𝑟.

Très bien, maintenant que nous avons rappelé la formule. Essayons de l’appliquer à notre développement pour trouver le troisième terme. Nous essayons donc de déterminer le troisième terme. C’est-à-dire 𝑇 trois. Mais cela signifie que 𝑟 doit être égal à deux.

Nous devons également déterminer la valeur de 𝑛. À quoi est-il égal ? Eh bien, comme le binôme est élevé à la puissance trois, cela signifie que 𝑛 est égal à trois. Nous pouvons donc maintenant commencer à écrire notre formule. Le troisième terme est égal à trois 𝐶 deux fois le premier terme du binôme, c’est-à-dire quatre 𝑥, puissance trois moins deux, car cela correspond à 𝑛 moins 𝑟, ceci fois trois puissance deux à nouveau puisque 𝑏 égale trois et 𝑟 égale deux.

OK, très bien ! Essayons à présent de simplifier. Nous allons tout d’abord nous pencher sur trois 𝐶 deux parce que nous pouvons le déterminer à l’aide d’une calculatrice. Mais que représente exactement cette expression ? Eh bien, elle représente le nombre de combinaisons de deux éléments qui peuvent être sélectionnés parmi un ensemble de trois éléments.

Et comment la calcule-t-on ? On utilise pour cela une formule générale, qui est factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟. Donc, dans ce cas, on a factorielle trois sur factorielle deux fois factorielle trois moins deux, ce qui est simplement égal à trois fois deux fois un sur deux fois un fois un. Parce que la factorielle de 𝑛 est égale au produit de tous les entiers strictement supérieurs à zéro qui sont inférieurs ou égaux à 𝑛. Donc, au numérateur par exemple, factorielle trois est égal à trois fois deux fois un.

Très bien. Cela se simplifie donc par trois sur un, ce qui est bien sûr égal à trois. Si vous vérifiez cela sur une calculatrice, vous obtiendrez la même valeur. Nous connaissons donc maintenant la valeur de trois 𝐶 deux et sa signification. Revenons à présent à notre expression et calculons ce troisième terme. Il est égal à trois fois quatre 𝑥 fois neuf. Nous pouvons donc conclure que le troisième terme du développement de quatre 𝑥 plus trois au cube est égal à 108𝑥.

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