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Vidéo de question : Déterminer l’équation d’un cercle dans un repère du plan Mathématiques

À partir de la figure ci-dessous, déterminez l'équation du cercle

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Transcription de vidéo

À partir de la figure ci-dessous, déterminez l'équation du cercle

Il existe deux façons de définir l’équation d’un cercle. On peut écrire son équation sous forme cartésienne en fonction de son centre et de son rayon. Ou on peut écrire la forme développée, également appelée forme générale de l’équation d’un cercle. Rappelons d’abord la forme cartésienne. Pour un cercle de centre de coordonnées 𝑑, ℎ et de rayon 𝑟 unités, son équation cartésienne est définie par 𝑥 moins 𝑑 au carré plus 𝑦 moins ℎ au carré égale 𝑟 au carré.

Pour trouver l’équation de notre cercle, nous devons donc déterminer les coordonnées de son centre et la longueur de son rayon. Le centre de notre cercle est ce point ici. En se déplaçant verticalement vers le haut à partir de ce point vers l’axe des abscisses, on peut voir que le centre a une abscisse de moins cinq. Et se déplaçant horizontalement de ce point vers l’axe des ordonnées, on constate que son ordonnée est moins quatre. Donc, le centre de ce cercle a pour coordonnées moins cinq, moins quatre. Considérons maintenant la longueur de son rayon.

Le rayon d’un cercle est simplement un segment reliant le centre à n’importe quel point de la circonférence. Nous pouvons donc dessiner le rayon où nous le souhaitons. Par exemple, nous pouvons tracer ce rayon horizontal ici. Comme ce segment est horizontal, sa longueur est simplement égale à la différence entre les abscisses de ses extrémités, qui sont ici moins cinq et moins 10. Donc, le rayon est égal à moins cinq moins moins 10, ce qui se simplifie par moins cinq plus 10 et qui est égal à cinq. Comme un carré représente une unité sur l’axe des abscisses, nous aurions également pu le voir en comptant horizontalement le nombre de carrés du centre à la circonférence du cercle.

Maintenant que nous avons trouvé le centre et le rayon de ce cercle, nous connaissons les valeurs de 𝑑, ℎ et 𝑟, et nous pouvons les substituer dans l’équation cartésienne du cercle. On obtient 𝑥 moins moins cinq au carré plus 𝑦 moins moins quatre au carré égale cinq au carré. Et il y a quelques simplifications que nous pouvons et devons faire. Dans chacune des parenthèses, il y a deux signes moins. 𝑥 moins moins cinq est équivalent à 𝑥 plus cinq. Et 𝑦 moins moins quatre est équivalent 𝑦 plus quatre. Les parenthèses se simplifient donc par 𝑥 plus cinq au carré et 𝑦 plus quatre au carré. Sur le membre droit, on calcule cinq au carré, qui est égal à 25.

Nous avons ainsi trouvé que l’équation cartésienne du cercle représenté sur le graphique est 𝑥 plus cinq au carré plus 𝑦 plus quatre au carré égale 25. Si nous souhaitions donner l’équation de ce cercle sous forme générale, nous devrions développer chacune des parenthèses puis simplifier le résultat.

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