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Vidéo question :: Utiliser le sinus pour trouver la cotangente d’un angle Mathématiques • Première secondaire

Calculez cot 𝜃 sachant que sin 𝜃 = 3/5, avec 90° < 𝜃 < 180°.

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Transcription de la vidéo

Calculez cotangente de 𝜃 sachant que le sinus de 𝜃 égale trois cinquièmes, avec 𝜃 compris entre 90 et 180 degrés.

Nous cherchons donc cotangente 𝜃. Et grâce aux identités trigonométriques, nous savons certaines choses. Nous savons que cotangente 𝜃 est égal à cos 𝜃 sur sin 𝜃, ce qui est exactement la même chose que cotangente 𝜃 égale un sur tan 𝜃 puisque tan 𝜃 est égal à sin 𝜃 sur cos 𝜃. Ainsi, lorsque nous écrivons un divisé par cela, cela s’inverse simplement, cosinus sur sinus. Alors, cela ne va pas être très utile car nous connaissons le sinus, mais nous n’avons aucune information sur le cosinus. Donc nous n’allons pas utiliser cette relations.

Mais une autre relation, nous dit que cotangente carré 𝜃 plus un égale cosécante carré 𝜃. Et cosécante 𝜃 est égal à un sur sinus 𝜃, et nous connaissons le sinus. Donc cela nous donnera cotangente carré 𝜃 à gauche, et il nous suffira de prendre la racine carrée pour trouver cotangente 𝜃. Alors allons-y et utilisons cette formule.

Comme nous l’avons dit, nous pouvons remplacer cosécante 𝜃 par un sur sin 𝜃. Et bien sûr, nous devons le mettre au carré. Alors maintenant, remplaçons sin 𝜃 par trois cinquièmes, ce qui signifie que nous avons un sur trois cinquièmes à l’intérieur de la parenthèse. Maintenant, un est la même chose que un sur un, donc si nous prenons un sur un et divisons par trois cinquièmes, nous allons en fait multiplier par l’inverse du dénominateur. En clair, nous inversons le bas de la fraction. Et maintenant, nous multiplions directement. Un fois cinq égale cinq, et un fois trois égale trois. Nous obtenons donc cinq tiers. Et si nous élevons cinq tiers au carré, cinq au carré égale 25 et trois au carré égale neuf.

Alors maintenant, notre prochaine étape est d’isoler cotangente carré 𝜃. Soustrayons un des deux côtés. Les uns à gauche s’annulent, et à droite, 25 neuvièmes moins un, nous pouvons écrire un comme neuf sur neuf. Lorsque nous soustrayons des fractions, nous soustrayons les numérateurs et nous conservons les dénominateurs. Nous obtenons donc cotangente carré 𝜃 égale 16 neuvièmes. Maintenant, pour résoudre la cotangente, nous devons prendre la racine carrée des deux côtés. Ainsi, la racine carrée de 16 est quatre et la racine carrée de neuf est trois. Ainsi, cotangente 𝜃 égale quatre tiers.

On nous donne également une autre information, 𝜃 est compris entre 90 degrés et 180 degrés. En regardant notre figure ici, nous avons zéro degré puis 90, 180, 270. Et puis, lorsque nous faisons un tour entier, nous finissons à 360 degrés, ce qui est exactement la même chose que zéro degré. On nous dit que 𝜃 est compris entre 90 et 180, ce qui signifie que 𝜃 est quelque part ici. Nous cherchons la cotangente et il est important de savoir que lorsque nous regardons une telle figure, l’abscisse 𝑥 représente cos 𝜃 et l’ordonnée 𝑦 représente sin 𝜃. Et cotangente est égale à cos 𝜃 divisé par sin 𝜃. Nous ne regardons cela que pour décider si les quatre tiers vont avoir un signe positif ou négatif.

Donc dans le quadrant numéro deux, nous nous intéressons au quadrant deux pour 𝜃 parce qu’il se situe entre 90 degrés et 180 degrés. Ici, nous pouvons voir que 𝑦 est positif mais 𝑥 est négatif. Cela signifie donc que le sinus est positif et que le cosinus est négatif. Et un négatif divisé par un positif est un négatif. Nous devons donc changer nos quatre tiers en moins quatre tiers en raison de l’emplacement de 𝜃.

Ainsi, la cotangente de 𝜃 est égale à moins quatre tiers.

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