Vidéo de la leçon: Caractéristiques des fonctions du second degré Mathématiques

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Dans cette vidéo, nous apprendrons à identifier les caractéristiques des fonctions du second degré, telles que le sommet, les zéros, l’axe de symétrie, l’ensemble de définition et l’ensemble image. Nous verrons comment nous pouvons déterminer ces caractéristiques à la fois graphiquement et à partir de l’équation de la fonction. Vous devez déjà être familiarisé avec le processus de complétion du carré ou de rédaction d’une expression du second degré sous forme de carré complété, bien que cela soit brièvement récapitulé dans le contexte des exemples.

Nous rappelons tout d’abord qu’une fonction du second degré est de la forme générale 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes et 𝑎 doit être non nul. Une forme alternative dans laquelle les fonctions du second degré peuvent être représentées est le carré complété ou la forme canonique. 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑎 multiplié par 𝑥 plus 𝑝 le tout au carré plus 𝑞, où 𝑎, 𝑝 et 𝑞 sont des constantes et encore 𝑎 doit être différent de zéro.

Si nous devions tracer la courbe de 𝑦 égal à 𝑓 de 𝑥 pour une fonction du second degré, alors nous constatons que toutes les fonctions du second degré partagent la même forme générale, qui est connue comme une parabole. La première distinction que nous pouvons faire est dans le type de parabole, et cela est déterminé par le signe du coefficient de 𝑥 au carré. C’est la valeur de 𝑎. Si 𝑎 est positif, alors la parabole sera courbée vers le haut comme dans le diagramme de gauche, alors que si 𝑎 est négatif, la parabole se courbera vers le bas comme dans le diagramme de droite. C’est la première chose clé à rechercher lors de la détermination de la forme de la courbe d’une fonction du second degré.

Réfléchissons à certaines des autres caractéristiques générales des fonctions du second degré dont nous devons être conscients. Et nous le ferons en considérant la courbe d’une expression du second degré simple. 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins trois. La première chose que nous pouvons déterminer à propos de cette courbe est son interception 𝑦. On rappelle que partout sur l’axe des 𝑦, 𝑥 est égal à zéro. Ainsi, en substituant zéro dans l’équation de 𝑓 de 𝑥, nous trouvons la valeur de 𝑦 lorsque 𝑥 est égal à zéro est moins trois.

Maintenant, c’est le terme constant dans notre fonction du second degré, et ce sera toujours le cas. Donc, en général, si nous avons une expression du second degré 𝑓 de 𝑥 égal à 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐, alors la valeur de son ordonnée à l’origine 𝑦 sera 𝑐.

La deuxième caractéristique clé d’une fonction du second degré est ses racines ou ses zéros. Maintenant, ce sont les valeurs 𝑥 auxquelles la courbe croise l’axe des 𝑥. On sait que partout sur l’axe des 𝑥, 𝑦 ou 𝑓 de 𝑥 est égale à zéro. Ce sont donc les solutions à l’équation 𝑓 de 𝑥 est égale à zéro.

Nous pouvons trouver ces valeurs en considérant la forme factorisée ou factorisée de notre fonction du second degré. Dans ce cas, notre expression du second degré peut être factorisé comme 𝑥 plus trois multiplié par 𝑥 moins un. Et nous prenons ensuite chacun de ces facteurs tour à tour, les mettons égaux à zéro et résolvons les équations linéaires résultantes, donnant 𝑥 égal à moins trois et 𝑥 égal à un.

Nous avons maintenant suffisamment d’informations pour pouvoir esquisser cette expression du second degré de façon assez précise. Le coefficient de 𝑥 au carré est un, il est donc positif, ce qui signifie que la parabole s’ouvre vers le haut. Nous avons une ordonnée à l’origine 𝑦 de moins trois et une interception 𝑥 de trois et moins un.

La prochaine caractéristique clé que nous voulons considérer est le sommet ou le point tournant de notre expression du second degré. Or, ce point tournant sera un minimum lorsque la valeur de 𝑎 est positive, et ce sera un maximum lorsque la valeur de 𝑎 sera négative. Dans notre cas, c’est un point minimum. Ce sont les coordonnées de ce point ici. Afin de trouver les coordonnées de ce point, nous considérons la forme canonique de notre expression du second degré, qui dans ce cas est 𝑥 plus un tout carré moins quatre. Nous allons voir comment procéder dans quelques exemples.

Maintenant, nous devons rappeler ici un résultat général, qui est que pour l’expression du second degré sous sa forme générale de sommet 𝑎𝑥 plus 𝑝 le tout au carré plus 𝑞, son sommet sera au point moins 𝑝, 𝑞. Ce qui signifie pour notre expression du second degré, son sommet sera au point moins un, moins quatre. Ce qui est logique lorsque nous considérons la position de ce point par rapport aux valeurs que nous avons marquées sur nos axes.

Voilà donc trois caractéristiques clés de nos fonctions du second degré. Voyons maintenant un peu plus.

Une parabole est une courbe lisse et symétrique, ce qui signifie que chaque parabole a un axe ou un axe de symétrie. Ce sera une droite verticale passant par le sommet de notre fonction. Les droites verticales ont des équations de la forme 𝑥 égale constante. Et la valeur 𝑥 à travers laquelle cette droite passe est la coordonnée 𝑥 du sommet. Ainsi, l’équation de l’axe de symétrie pour cette parabole sera 𝑥 égale à moins un.

Les deux autres caractéristiques dont nous devons tenir compte sont l’ensemble de définition et l’ensemble image de notre expression du second degré. Maintenant, nous rappelons tout d’abord que l’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs sur lesquelles la fonction agit, que nous pouvons également considérer comme les valeurs d’entrée de la fonction. Un trinôme de second degré est juste un type de polynôme, et tous les polynômes peuvent agir sur toutes les valeurs 𝑥. Cela signifie qu’il n’y a aucune restriction sur les valeurs de 𝑥 sur lesquelles la fonction peut agir. Nous disons donc que l’ensemble de définition est l’ensemble de tous les nombres réels.

Enfin, nous considérons l’ensemble image de la fonction, qui est l’ensemble de toutes les valeurs produites par la fonction. Ou dans le cas d’un graphique, on peut le considérer comme toutes les valeurs de 𝑓 de 𝑥 ou 𝑦. De notre courbe, nous pouvons voir que toutes les valeurs 𝑦 possibles de la fonction sont les valeurs de 𝑦 du point minimum vers le haut. Ce sont toutes des valeurs 𝑦 supérieures ou égales à moins quatre. Nous pouvons soit exprimer l’ensemble image comme 𝑓 de 𝑥 est supérieur ou égal à moins quatre. Ou nous pouvons l’écrire en utilisant la notation d’intervalle comme l’intervalle de moins quatre à ∞, qui est fermé à l’extrémité inférieure et ouvert à l’extrémité supérieure.

Maintenant que nous avons vu comment identifier les principales caractéristiques des fonctions du second degré, considérons quelques exemples.

Trouvez les coordonnées du sommet de la courbe de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 au carré plus huit 𝑥 plus sept. Indiquez la valeur de la fonction au sommet et déterminez s’il s’agit d’une valeur minimale ou maximale.

Afin de trouver les coordonnées du sommet de cette courbe, nous devons convertir son équation en forme de sommet. 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑎 multiplié par 𝑥 plus 𝑝 le tout au carré plus 𝑞. Maintenant, en regardant l’équation de cette courbe, nous voyons que la valeur de 𝑎, le coefficient de 𝑥 au carré, est un. Nous cherchons donc en fait cette expression du second degré sous la forme 𝑥 plus 𝑝 le tout au carré plus 𝑞, ce que nous pouvons faire en complétant le carré.

Premièrement, nous déterminons la valeur de 𝑝 à l’intérieur des parenthèses. Et c’est toujours la moitié du coefficient de 𝑥 dans l’équation. La moitié de huit est quatre, nous avons donc 𝑥 plus quatre le tout au carré. Maintenant, nous voulons que cette première partie de notre fonction du second degré soit équivalente à 𝑥 au carré plus huit 𝑥. Mais nous savons que si nous distribuions 𝑥 plus quatre le tout au carré, cela donnerait 𝑥 au carré plus huit 𝑥 plus 16. Nous avons donc un 16 supplémentaire que nous devons soustraire afin de nous assurer que ces deux parties de l’expression du second degré sont équivalentes.

𝑥 au carré plus huit 𝑥 est donc équivalent à 𝑥 plus quatre le tout au carré moins 16. Et puis nous avons aussi le plus sept, qui reste le même. La valeur de 16 que nous soustrayons est de quatre au carré. C’est le carré de notre valeur 𝑝. Ensuite, nous devons simplement simplifier. Moins 16 plus sept est moins neuf. Nous avons donc maintenant notre expression du second degré sous sa forme canonique.

On rappelle alors que pour une expression du second degré sous sa forme canonique, son sommet aura les coordonnées moins 𝑝, 𝑞. Pour notre expression du second degré, la valeur de 𝑝 est quatre et la valeur de 𝑞 est moins neuf. Ainsi, les coordonnées du sommet seront moins 𝑝, c’est-à-dire moins quatre, 𝑞, ce qui est moins neuf. Nous avons donc trouvé les coordonnées du sommet de cette courbe.

La question nous demande également d’indiquer la valeur de la fonction au sommet. La valeur de la fonction sera la coordonnée 𝑦, donc la valeur est moins neuf.

Enfin, on nous a demandé de déterminer s’il s’agissait d’une valeur minimale ou maximale. Eh bien, cela est déterminé par le coefficient de 𝑥 au carré, la valeur de 𝑎, qui dans notre équation est un. Comme 𝑎 est positif, la parabole s’ouvrira vers le haut, ce qui signifie que le sommet sera au minimum.

Nous avons donc résolu le problème. Les coordonnées du sommet sont moins quatre, moins neuf. La valeur de la fonction elle-même est moins neuf. Et c’est une valeur minimale.

Dans notre exemple suivant, nous verrons comment déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction du second degré donnée sous sa forme canonique.

Déterminez l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à quatre multiplié par 𝑥 moins quatre au carré moins trois.

Tout d’abord, nous rappelons que l’ensemble de définition est l’ensemble de toutes les valeurs sur lesquelles la fonction agit, que nous pouvons également considérer comme l’ensemble des valeurs d’entrée de la fonction. Comme la fonction 𝑓 de 𝑥 est un polynôme et, plus précisément, une expression du second degré, il n’y a aucune restriction sur les valeurs sur lesquelles elle peut agir. Par conséquent, nous disons que l’ensemble de définition de cette fonction est l’ensemble de tous les nombres réels.

L’ensemble image d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs produites par la fonction, que nous pouvons considérer comme l’ensemble de toutes les valeurs de sortie. Pour déterminer l’ensemble image d’une fonction du second degré, nous pouvons considérer son tournant. Maintenant, cette fonction du second degré nous a été donnée sous sa forme carrée ou vertex terminée. 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑎 multiplié par 𝑥 plus 𝑝 le tout au carré plus 𝑞. Et nous savons que lorsqu’une fonction du second degré est donnée sous cette forme, son sommet a les coordonnées moins 𝑝, 𝑞. La valeur de 𝑝 pour notre expression du second degré est moins quatre, et la valeur de 𝑞 est moins trois. Ainsi, le sommet sera à moins moins quatre, c’est-à-dire quatre, moins trois.

Comme la valeur de 𝑎, le coefficient de 𝑥 au carré dans notre fonction du second degré, est quatre, ce qui est positif, nous savons que sa courbe sera une parabole qui se courbe vers le haut. Donc, ce sommet de quatre, moins trois sera un point minimum. Les valeurs possibles de 𝑓 de 𝑥 seront alors toutes les valeurs à partir de cette valeur minimale de la fonction moins trois vers le haut.

Nous pouvons l’exprimer soit comme 𝑓 de 𝑥 est supérieur ou égal à moins trois ou en utilisant la notation d’intervalle comme l’intervalle de moins trois à ∞, qui est fermé à l’extrémité inférieure et ouvert à l’extrémité supérieure. Nous pouvons alors répondre au problème en disant que l’ensemble de définition de cette fonction est l’ensemble de tous les nombres réels et l’ensemble image est l’intervalle de moins trois à ∞, qui est fermé à l’extrémité inférieure et ouvert à l’extrémité supérieure.

Dans cet exemple, nous verrons comment utiliser les caractéristiques clés d’une fonction du second degré pour identifier sa courbe.

Pour la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus trois, répondez aux questions suivantes. Tout d’abord, trouvez en factorisant les zéros de la fonction. Deuxièmement, identifiez la courbe de 𝑓.

Cette question comporte également deux autres parties. Donc tout d’abord, on nous demande de trouver les zéros de cette fonction. Et la méthode qu’on nous dit d’utiliser est la factorisation. Nous devons donc écrire notre expression du second degré comme le produit de deux facteurs linéaires. Comme le coefficient de 𝑥 au carré est un, nous savons que le premier terme de chacune de nos parenthèses sera 𝑥. Nous recherchons alors deux nombres dont la somme est le coefficient de 𝑥, c’est moins quatre, et dont le produit est le terme constant, c’est plus trois.

Eh bien, les deux nombres qui correspondent à ces deux critères sont moins un et moins trois. Moins un plus moins trois est moins quatre, et moins un multiplié par moins trois est trois positifs. Donc, nos facteurs du second degré comme 𝑥 moins un multiplié par 𝑥 moins trois, ce que nous pouvons bien sûr confirmer en redistribuant les parenthèses si nous le souhaitons.

Nous devons utiliser cette forme factorisée pour déterminer les zéros de la fonction, dont nous rappelons que les valeurs 𝑥 sont telles que 𝑓 de 𝑥 est égale à zéro. Si nous mettons cette forme factorisée à zéro, nous rappelons alors que pour que le produit de deux choses soit nul, au moins l’une d’elles doit être elle-même nulle. Nous pouvons donc prendre chaque facteur à tour de rôle et le mettre à zéro, donnant deux équations linéaires simples. La première peut être résolue en ajoutant un de chaque côté pour donner 𝑥 est égal à un, et la seconde peut être résolue en ajoutant trois de chaque côté pour donner 𝑥 est égal à trois. Les racines ou zéros de cette fonction sont alors les valeurs un et trois.

Maintenant, dans la deuxième partie de la question, on nous demande d’identifier la courbe de notre fonction 𝑓. Et nous pouvons voir que nous avons eu trois possibilités : une bleue, une rouge et une verte. Maintenant, nous venons de découvrir que notre courbe a des zéros en un et trois. Et rappelez-vous, ces zéros sont les valeurs de 𝑥 en lesquelles la courbe croise l’axe des 𝑥. Donc, si notre courbe croise l’axe des 𝑥 à un et trois, nous pouvons voir sur la figure que cela ne laisse que les courbes rouge et verte. La courbe bleue croise l’axe des 𝑥 ou comporte des zéros aux valeurs de moins un et de moins trois.

Maintenant, il nous suffit de choisir entre les courbes rouge et vert, que nous voyons comme des images miroir les uns des autres. L’une est une parabole incurvée vers le haut, et l’autre est une parabole incurvée vers le bas. Nous rappelons que le type de parabole que nous avons sera déterminé par la valeur de 𝑎. C’est le coefficient de 𝑥 au carré. Dans notre fonction, le coefficient de 𝑥 au carré est un. C’est une valeur positive, ce qui signifie que la parabole se courbera vers le haut. Cela signifie alors que la courbe de notre fonction 𝑓 doit être la courbe rouge. Il a les bons zéros et la bonne forme. Nous pouvons également voir que l’ordonnée à l’origine 𝑦 de cette courbe est de trois, ce qui est en effet le terme constant dans notre fonction 𝑓 de 𝑥.

Les deux autres parties de la question, que je n’ai pas écrites au départ parce qu’elles donnent le jeu pour la partie précédente. Écrivez l’équation pour 𝑔, la fonction qui décrit la courbe bleue. Et écrivez l’équation pour ℎ, la fonction qui décrit la courbe verte.

Regardons d’abord cette courbe bleue. Nous avons déjà dit qu’il avait des zéros à moins un et à moins trois. Cela signifie que dans sa forme factorisée, il a des facteurs de 𝑥 plus un et 𝑥 plus trois. Mais il pourrait aussi y avoir un facteur 𝑎 que nous multiplions. Pour déterminer si la valeur de 𝑎 est une ou autre chose, nous considérons l’interception 𝑦 de la courbe, que nous pouvons voir est la même que l’interception 𝑦 de la courbe rouge. C’est trois. Lorsque nous multiplions ces deux facteurs ensemble, le terme constant sera un multiplié par trois, ce qui est en fait trois. Et cela nous dit donc que la valeur de 𝑎 est simplement une. Notre fonction 𝑔 dans sa forme factorisée est alors 𝑥 plus un multiplié par 𝑥 plus trois. Si nous distribuons les parenthèses, nous avons 𝑔 de 𝑥 égal à 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 plus trois.

Pour la courbe verte, il a les mêmes zéros que notre fonction 𝑓. On peut donc l’écrire comme 𝑎 multiplié par 𝑥 moins un multiplié par 𝑥 moins trois. Et encore une fois, nous devons déterminer si la valeur de 𝑎 est une ou autre chose. Eh bien, l’interception 𝑦 pour la courbe verte est moins trois. Si nous multiplions ensemble moins un et moins trois, nous obtenons une valeur positive de trois. Et donc pour garantir que l’interception 𝑦, le terme constant sous la forme développée de ℎ de 𝑥, est moins trois, nous avons besoin que la valeur de 𝑎 soit négative.

L’équation ℎ de 𝑥 est alors moins 𝑥 moins un multipliée par 𝑥 moins trois. En fait, c’est l’opposé complet de notre fonction 𝑓 de 𝑥, que nous pouvons aussi voir car ce sont des reflets les uns des autres par rapport à l’axe des 𝑥. On peut alors écrire l’équation ℎ de 𝑥 comme l’opposé complet de notre fonction 𝑓 de 𝑥. ℎ de 𝑥 est égal à moins 𝑥 moins quatre 𝑥 plus trois.

Résumons maintenant certains des points clés de cette vidéo. Les fonctions du second degré peuvent être exprimées sous leur forme développée, 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐. Ou leur forme de carré complété ou canonique, 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑎 multiplié par 𝑥 plus 𝑝 le tout au carré plus 𝑞, où 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑝 et 𝑞 sont toutes des constantes et 𝑎 ne doit pas être égal à zéro. La courbe d’une fonction du second degré est une parabole. Et si 𝑎 est positif, la parabole s’ouvrira vers le haut, alors que si 𝑎 est négatif, la parabole s’ouvrira vers le bas.

Le point tournant ou le sommet d’une parabole peut être trouvé à partir de sa forme de carré complété ou canonique. Et dans le cas général, le sommet aura des coordonnées moins 𝑝, 𝑞. La parabole aura également un axe de symétrie, qui est une droite verticale passant par ce point, avec l’équation 𝑥 égale moins 𝑝.

L’ensemble de définition de toute fonction du second degré est l’ensemble de tous les nombres réels, sauf indication contraire. Et l’ensemble image peut être trouvée à partir du graphique ou de la forme carrée complétée. Lorsque 𝑎 est positif, l’ensemble image sera 𝑓 de 𝑥 est supérieure ou égale à 𝑞. Et lorsque 𝑎 est négatif, l’ensemble image sera 𝑓 de 𝑥 est inférieure ou égale à 𝑞.

Dans cette vidéo, nous avons vu comment utiliser la courbe ou l’équation d’une fonction du second degré pour déterminer ces caractéristiques clés.