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Vidéo question :: Utiliser les identités des angles complémentaires et les identités périodiques pour évaluer des expressions Mathématiques • Première secondaire

Calculez la valeur de l’expression sin (180° − 𝑥) + tan (360° − 𝑥) + 7 sin (270° − 𝑥) sachant que sin 𝑥 = 3/5 et 0° < 𝑥 < 90°.

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Transcription de la vidéo

Calculez la valeur de l’expression sinus de 180 degrés moins 𝑥 plus tangente de 360 degrés moins 𝑥 plus sept multiplié par sinus de 270 degrés moins 𝑥 sachant que sinus 𝑥 égale trois cinquièmes et 𝑥 est compris entre zéro et 90 degrés.

Nous pouvons utiliser le fait que sin 𝑥 est égal à trois cinquièmes pour calculer la valeur de cos 𝑥 et de tan 𝑥. Comme 𝑥 est compris entre zéro et 90 degrés, nous savons que sin 𝑥, cos 𝑥 et tan 𝑥 seront tous positifs. En dessinant puis en utilisant nos connaissances en trigonométrie dans le triangle rectangle, nous savons que l’opposé est égal à trois et l’hypoténuse est égale à cinq. Ceci est l’un de nos triangles remarquable de Pythagore. Donc l’adjacent mesure quatre. Si sin 𝑥 est égal à trois cinquièmes, alors cos 𝑥 est égal à quatre cinquièmes, l’adjacent sur l’hypoténuse. Et tan 𝑥 dans ce premier quadrant est égal à trois quarts, car c’est l’opposé sur l’adjacent.

Notre prochaine étape consiste à utiliser nos connaissances des identités de sommes et de différences d’angles pour réécrire notre expression. Le sinus de 𝐴 moins 𝐵 est égal à sin 𝐴 cos 𝐵 moins cos 𝐴 sin 𝐵. Nous pouvons donc réécrire sin 180 moins 𝑥 comme sin 180 multiplié par cos 𝑥 moins cos 180 multiplié par sin 𝑥 Nous savons que le sinus de 180 degrés est égal à zéro. Le cos de 180 degrés est égal à moins un. Zéro multiplié par cos 𝑥 est égal à zéro. Et moins moins un sin 𝑥 est égal à sin 𝑥. On nous a dit dans la question que sin 𝑥 est égal à trois cinquièmes. Par conséquent, le premier terme se simplifie en trois cinquièmes.

Nous pouvons utiliser la même formule pour simplifier le troisième terme, sept multiplié par sin 270 degrés moins 𝑥. Cela est égal à sept multiplié par sin 270 degrés multiplié par cos 𝑥 moins cos 270 degrés multiplié par sin 𝑥. Le sinus de 270 degrés est égal à moins un. Le cosinus de 270 degrés est égal à zéro. Par conséquent, le deuxième terme entre parenthèses est égal à zéro. Ce terme se simplifie en moins sept cos 𝑥. Nous savons que cos 𝑥 est égal à quatre cinquièmes. Cela signifie que nous devons multiplier moins sept par quatre cinquièmes. Cela est égal à moins 28 sur cinq ou moins 28 cinquièmes. Le troisième terme de notre expression est égal à moins 28 cinquièmes.

Considérons maintenant le deuxième terme. La tangente de 𝐴 moins 𝐵 est égale à tan 𝐴 moins tan 𝐵 sur un plus tan 𝐴 tan 𝐵. Nous pouvons utiliser cette formule pour simplifier le deuxième terme. La tangente de 360 moins 𝑥 est égale à tan 360 moins tan 𝑥 divisé par un plus tan 360 multiplié par tan 𝑥. La tangente de 360 degrés est égale à zéro. L’expression se simplifie en moins tan 𝑥 sur un, soit moins tan 𝑥. Puisque tan 𝑥 égale trois quarts, moins tan 𝑥 égale moins trois quarts. Le deuxième terme de notre expression est donc moins trois quarts.

Nous avons maintenant les valeurs des trois termes. La valeur de sinus de 180 moins 𝑥 plus tangente de 360 moins 𝑥 plus sept multiplié par sinus de 270 moins 𝑥 est égale à trois cinquièmes moins trois quarts moins 28 cinquièmes. Trois cinquièmes moins 28 cinquièmes est égal à moins 25 cinquièmes. Cela est égal à moins cinq. Notre valeur se simplifie en moins cinq moins trois quarts. Cela est égal à moins cinq et trois quarts ou moins 23 quarts. L’une de ces formes, ou encore le nombre décimal moins 5,75 sont des réponses correctes.

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