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Vidéo de question : Évaluer des combinaisons pour déterminer la valeur d’une inconnue Mathématiques

Sachant que 𝑛𝐶₃ = 120, calculez 𝑛.

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Transcription de vidéo

Sachant que 𝑛 𝐶 trois est égal à 120, calculez 𝑛.

Commençons par rappeler la définition de 𝑛 𝐶 𝑟. Cette valeur représente le nombre de façons de choisir 𝑟 éléments parmi un ensemble de 𝑛 éléments où l’ordre n’a pas d’importance. Et elle est définie par factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟. 𝑛 𝐶 𝑟 ou 𝑟 parmi 𝑛 peut également être parfois noté comme ceci. Maintenant, cette question nous donne la valeur de 𝑛 𝐶 trois. Nous pouvons donc reformuler 𝑛 𝐶 trois à l’aide de cette formule.

On remplace 𝑟 par trois et on obtient factorielle 𝑛 sur factorielle trois fois factorielle 𝑛 moins trois. Et nous savons que cela est égal à 120. On a donc factorielle 𝑛 sur factorielle trois fois factorielle 𝑛 moins trois égale 120. On peut ensuite simplifier en multipliant les deux membres par factorielle trois. Cela nous donne factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑛 moins trois égale 120 fois factorielle trois. Mais bien sûr, factorielle trois est égal à trois fois deux fois un, ce qui fait six. Et comme 120 fois six égale 720, on obtient factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑛 moins trois égale 720.

Nous allons maintenant appliquer la définition de la factorielle. On sait que factorielle 𝑛 est égal à 𝑛 fois 𝑛 moins un fois 𝑛 moins deux, et ainsi de suite. Puisque cela continue jusqu’à un, on peut l’écrire comme 𝑛 fois 𝑛 moins un fois 𝑛 moins deux fois factorielle 𝑛 moins trois. Et comme on divise ici factorielle 𝑛 par factorielle 𝑛 moins trois, le factorielle 𝑛 moins trois s’annule. Cela permet de simplifier grandement notre équation. Elle devient donc 𝑛 fois 𝑛 moins un fois 𝑛 moins deux égale 720. C’est une équation du troisième degré. Nous allons donc développer les parenthèses et la manipuler pour obtenir zéro sur un membre.

En multipliant 𝑛 moins un et 𝑛 moins deux, on obtient 𝑛 au carré moins trois 𝑛 plus deux. Et en multipliant par 𝑛, le membre gauche devient 𝑛 au cube moins trois 𝑛 au carré plus deux 𝑛 égale 720. On rappelle alors que pour résoudre une équation de ce type, il faut qu’un des membres soit égal à zéro, puis factoriser. Nous pourrions utiliser un programme de résolution sur une calculatrice, mais rappelons plutôt la méthode permettant de factoriser des polynômes de degré trois. Nous pouvons utiliser pour cela le théorème sur la factorisation de polynômes. Il stipule que si 𝑛 moins 𝑎 est un facteur de la fonction 𝑓 de 𝑛, alors 𝑓 de 𝑎 est égal à zéro. Et nous savons que notre valeur de 𝑎 doit être un diviseur de moins 720.

Essayons donc 𝑎 égale 10. C’est un diviseur assez évident de moins 720. Si 𝑛 moins 10 est un facteur du polynôme, alors 𝑓 de 10, qui est égal à 10 au cube moins trois fois 10 au carré plus deux fois 10 moins 720 doit être égal à zéro. Et c’est en fait bien le cas. Donc, 𝑛 moins 10 est un facteur de 𝑛 au cube moins trois 𝑛 au carré plus deux 𝑛 moins 720. Utilisons à présent la division euclidienne de polynômes pour diviser notre fonction par 𝑛 moins 10. 𝑛 au cube divisé par 𝑛 égale 𝑛 au carré. On multiplie ensuite 𝑛 au carré par chaque terme du binôme. Cela nous donne 𝑛 au cube moins 10𝑛 au carré. Puis on soustrait ces termes. 𝑛 au cube moins 𝑛 au cube égale zéro. Et, moins trois 𝑛 au carré moins moins 10𝑛 au carré égale sept 𝑛 au carré. On réécrit ensuite les deux autres termes. Puis on divise sept 𝑛 au carré par 𝑛. Cela nous donne sept 𝑛.

On multiplie à présent sept 𝑛 par les deux termes du binôme, ce qui donne sept 𝑛 au carré moins 70𝑛. Et on les soustrait à nouveau. Sept 𝑛 au carré moins sept 𝑛 au carré égale zéro. Et deux 𝑛 moins moins 70𝑛 égale 72𝑛. On réécrit le 720 puis on divise 72𝑛 par 𝑛, ce qui nous donne 72. On multiplie une nouvelle fois 72 par les deux termes du binôme, ce qui donne 72𝑛 moins 720. Et comme attendu, on obtient un reste de zéro. L’équation devient ainsi 𝑛 moins 10 fois 𝑛 au carré plus sept 𝑛 plus 72 égale zéro.

Et nous devons maintenant vérifier si 𝑛 au carré plus sept 𝑛 plus 72 est factorisable. Nous allons pour cela utiliser le discriminant. Le discriminant d’un polynôme du second degré de la forme 𝑎𝑛 au carré plus 𝑏𝑛 plus 𝑐 égale zéro est 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐. Ici, 𝑎, qui est le coefficient de 𝑛 au carré, est égal à un, 𝑏, qui est le coefficient de 𝑛, est égal à sept et 𝑐, qui est la constante, est égal à 72. Le discriminant est donc égal à sept au carré moins quatre fois un fois 72. Et cela est inférieur à zéro.

Cela nous indique que l’équation 𝑛 au carré plus sept 𝑛 plus 72 égale zéro n’a aucune solution réelle et qu’elle n’est donc pas factorisable. Cela signifie également que la seule solution réelle à l’équation 𝑛 au cube moins trois 𝑛 au carré plus deux 𝑛 moins 720 égale zéro est lorsque 𝑛 moins 10 est égal à zéro. Et en ajoutant 10 aux deux membres, on trouve 𝑛 égale 10.

Par conséquent, si 𝑛 𝐶 trois égale 120, alors 𝑛 doit être égal à 10. Bien sûr, nous pourrions vérifier cette réponse en revenant à la définition de 𝑛 𝐶 𝑟 et en vérifiant que 10 𝐶 trois est bien égal à 120.

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