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Lesquels des points suivants appartiennent à la droite d’intersection des deux plans d’équations moins neuf 𝑥 plus 16𝑦 moins six 𝑧 moins 11 égale zéro et moins 13𝑥 plus deux 𝑦 plus quatre 𝑧 plus un égale zéro ? (A) Un, deux, moins deux ; (B) un, deux, deux ; (C) un, moins deux, deux ; (D) un, trois, deux ; ou (E) deux, trois, cinq.
On nous donne les équations cartésiennes de deux plans, qui sont des équations de la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐𝑧 plus 𝑑 égale zéro, où 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 sont des constantes. On nous dit que ces deux plans se coupent en une droite. Une droite est constituée d’une infinité de points, donc il existe une infinité de points d’intersection entre ces deux plans. Et on nous donne cinq points d’intersection potentiels (A), (B), (C), (D) et (E). Il existe plusieurs façons d’aborder ce problème. On pourrait utiliser nos deux équations de plan pour déterminer l’équation de la droite d’intersection. Puis on pourrait remplacer nos points à tour de rôle dans l’équation de la droite d’intersection afin d’identifier ceux qui vérifient l’équation de la droite d’intersection et par conséquent les deux équations de plan.
Mais il existe une approche plus simple. Elle consiste simplement à remplacer chacun des points dans nos deux équations de plans afin d’identifier ceux qui vérifient les deux équations. Les équations de nos deux plans, qu’on note 𝑃 un et 𝑃 deux, sont respectivement moins neuf 𝑥 plus 16𝑦 moins six 𝑧 moins 11 égale zéro et moins 13𝑥 plus deux 𝑦 plus quatre 𝑧 plus un égale zéro. On va maintenant tester nos points en commençant par le point (A). On peut voir qu’au point (A), 𝑥 est égal à un, 𝑦 est égal à deux et 𝑧 est égal à moins deux. Si on remplace ces valeurs dans l’équation de notre plan 𝑃 un, on obtient moins neuf fois un plus 16 fois deux moins six fois moins deux moins 11. Pour que le point (A) appartienne au plan un, cette expression doit être égale à zéro.
Cependant, on peut voir que le côté gauche est égal à 24, donc il est différent de zéro. Par conséquent, le point (A) n’appartient pas au plan un. Et comme il n’appartient pas au plan un, il n’appartient pas non plus à la droite d’intersection des deux plans. Donc on peut éliminer le point (A). Testons maintenant le point (B). Le point (B) a pour coordonnées un, deux, deux, où 𝑥 est égal à un, 𝑦 est égal à deux et 𝑧 est égal deux. En remplaçant ces valeurs dans l’équation du plan un, on obtient moins neuf fois un plus 16 fois deux moins six fois deux moins 11. C’est égal à moins neuf plus 32 moins 12 moins 11. Ce qui fait zéro. Par conséquent, le point (B) appartient au plan un.
On doit maintenant vérifier si le point (B) appartient au plan deux, car si c’est le cas, cela signifie que le point (B) appartient à la droite d’intersection des deux plans. Donc on remplace les coordonnées du point (B) dans l’équation du plan deux et on obtient moins 13 fois un plus deux fois deux plus quatre fois deux plus un. C’est égal à moins 13 plus quatre plus huit plus un. Le côté gauche est égal à zéro, donc le point (B) appartient au plan deux. On a montré que le point (B) appartient aux deux plans et on en déduit qu’il appartient aussi à leur droite d’intersection.
Testons à présent le point (C). Le point (C) a pour coordonnées un, moins deux, deux. Dans l’équation du plan un, cela nous donne moins neuf moins 32 moins 12 moins 11. C’est égal à moins 64, donc ce n’est pas égal à zéro. Par conséquent, on peut éliminer le point (C). S’il n’appartient pas au plan un, alors il ne peut pas appartenir à la droite d’intersection des deux plans.
Le point (D) a pour coordonnées un, trois et deux. On remplace ces coordonnées dans l’équation du plan un et on obtient moins neuf plus 48 moins 12 moins 11. C’est égal à 16, donc ce n’est pas égal à zéro. Donc on peut éliminer le point (D). Enfin, le point (E) a pour coordonnées deux, trois et cinq. Dans l’équation du plan un, cela nous donne moins 18 plus 48 moins 30 moins 11. C’est égal à moins 11, ce qui est bien sûr différent de zéro. Donc on peut éliminer le point (E).
Seul le point (B), de coordonnées un, deux, deux, vérifie nos deux équations de plan et appartient par conséquent à la droite d’intersection de ces deux plans. Donc notre réponse est le point (B).
