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Vidéo de la leçon: Déterminer l’équation d’une droite étant donné la pente et l’ordonnée à l’origine Mathématiques • Troisième préparatoire

Trouver l’équation d’une droite sous forme cartésienne compte tenu de la pente et l’ordonnée à l’origine 𝑦 de la droite. Comprend le calcul de la pente d’une droite en fonction de deux points situés sur la droite.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver l’équation d’une droite sous différentes formes, compte tenu de deux informations, le coefficient directeur de la droite et l’ordonnée à l’origine 𝑦. Tout d’abord, rappelons les différentes formes de l’équation d’une droite qui pourraient être demandées. La première est la forme réduite, 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑐. Les lettres 𝑚 et 𝑐 représentent chacune des propriétés particulières de la droite. D’une part, 𝑚 représente le coefficient directeur de la droite, ce qui signifie que, pour chaque unité de déplacement vers la droite, la droite se déplace de ce même nombre d’unités soit vers le haut ou vers le bas, selon la valeur positive ou négative de 𝑚.

D’autre part, 𝑐 représente l’ordonnée à l’origine 𝑦 de la droite, qui est la valeur à laquelle la droite coupe l’axe des 𝑦. La seconde l’équation commune d’une droite est donnée sous la forme 𝑦 moins 𝑦 un égale 𝑚 𝑥 moins 𝑥 un. Le coefficient directeur de la droite est désigné par 𝑚, comme nous l’avons vu précédemment. Et 𝑥 un, 𝑦 un représente les coordonnées d’un point particulier appartenant à cette droite donnée. Maintenant, dans cette vidéo, nous cherchons à trouver l’équation d’une droite en fonction de son coefficient directeur et de son ordonnée à l’origine 𝑦. Et par conséquent, nous utilisions d’habitude la forme réduite pour le faire.

Déterminez, sous forme réduite, l’équation de la droite qui présente un coefficient directeur de huit et une ordonnée à l’origine 𝑦 de moins quatre.

On nous dit donc comment notre réponse devrait être exprimée, sous forme réduite, 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑐. Donc ce que nous devons faire est de déterminer les valeurs de 𝑚 et 𝑐 pour cette question. Les valeurs de 𝑚 et 𝑐 sont explicitement indiquées dans l’énoncé. On nous dit que cette droite a un coefficient directeur de huit ; cela signifie que la valeur de 𝑚 est huit. On nous dit également que la droite a une ordonnée à l’origine 𝑦 égale à moins quatre ; cela signifie que la valeur de 𝑐 est moins quatre. Il suffit donc de substituer les valeurs de huit et de moins quatre dans la forme réduite d’une droite. On en déduit donc que l’équation de la droite est 𝑦 égale huit 𝑥 moins quatre.

Trouvez les coordonnées du point où la droite d’équation 𝑦 égale quatre 𝑥 plus 12 coupe l’axe des 𝑦.

Donc, dans cette question, on nous donne l’équation d’une droite sous forme réduite. Et on nous demande les coordonnées du point où elle coupe l’axe des 𝑦. Cette question vérifie alors si nous comprenons la forme réduite et ce que représentent les différentes parties de l’équation. Rappelez-vous que la forme réduite est 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑐, où 𝑐 représente l’ordonnée à l’origine 𝑦 de la droite, c’est ce que nous recherchons ici. L’ordonnée à l’origine 𝑦 est le point où la droite coupe l’axe des 𝑦. Nous pouvons donc voir en comparant la forme cartésienne et la droite spécifique que nous avons, la valeur de 𝑐 ici est 12.

Mais la question ne se limite pas à la valeur de 𝑐 ; on nous demande les coordonnées de ce point. Donc, le point d’intersection de la droite avec l’axe des 𝑦, comme on se souvient, est un point sur l’axe des 𝑦. Nous venons de calculer sa coordonnée 𝑦 ; représentée par cette valeur de 12. Pour la coordonnée 𝑥, nous avons juste besoin de rappeler que, à chaque point de l’axe des 𝑦 la coordonnée 𝑥 est zéro. Vous pourriez peut-être voir cela plus clairement en imaginant à quoi ressemblerait le graphique, comme je l’ai fait ici. Donc, les coordonnées de ce point vont être zéro, 12. Et c’est notre réponse finale à cette question.

Écrivez l’équation représentée par le graphique suivant. Donnez votre réponse sous la forme 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏.

Nous avons donc la représentation graphique d’une droite. Et on nous demande de donner son équation sous forme réduite, ce qui signifie que nous devons déterminer en quoi consistent chacun de ces deux éléments. En regardant le graphique, nous pouvons voir que l’ordonnée à l’origine 𝑦 est de moins quatre, ce qui signifie que la valeur de 𝑏, qui est la lettre utilisée ici pour représenter l’ordonnée à l’origine 𝑦, doit être moins quatre. Je peux donc écrire la première partie de l’équation de cette droite ; c’est 𝑦 égale 𝑚𝑥 moins quatre. Ensuite, nous devons trouver la valeur de 𝑚, le coefficient directeur de cette droite. Et pour ce faire, j’ai besoin des coordonnées de deux points appartenant à la droite.

Nous avons déjà identifié un point, le point dont les coordonnées sont zéro et moins quatre. En regardant le graphique, je peux aussi voir qu’il y a un point ici qui serait pratique à utiliser. Ce point est situé sur l’axe des 𝑥 et a pour coordonnées six, zéro. Je vais donc utiliser ces deux points pour calculer le coefficient directeur de la droite. Ainsi, le coefficient directeur de la droite peut être calculé comme la variation en 𝑦 divisée par la variation en 𝑥. Ou vous pouvez penser à cela comme 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un, si vous choisissez de désigner les deux points par 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux. Je vais juste regarder le graphique afin d’élaborer la variation en 𝑦 et la variation en 𝑥.

La variation en 𝑦 en premier lieu, bon, c’est bien la longueur verticale dans ce triangle. Et je peux voir qu’il passe d’une coordonnée 𝑦 de moins quatre à une coordonnée 𝑦 de zéro. Par conséquent, la variation en 𝑦 est plus quatre. Maintenant, regardons la variation en 𝑥 ; c’est la variation horizontale. Je peux donc voir sur le graphique que cela passe d’une valeur de zéro à une valeur de six, ce qui me donne la variation en 𝑥 de plus six. Le coefficient directeur de cette droite est donc égal à quatre sur six. Mais ce résultat peut être écrit comme une fraction sous forme irréductible ; c’est égal à deux tiers. Enfin, il suffit de substituer cette valeur de 𝑚, le coefficient directeur de la droite, dans l’équation. Ainsi, l’équation de la droite représentée par ce graphique est 𝑦 égale deux tiers 𝑥 moins quatre.

Trouvez l’équation de la droite dont le point d’intersection avec l’axe des 𝑥 est trois et le point d’intersection avec l’axe des 𝑦 est sept, et calculez l’aire du triangle formé par cette droite et les deux axes du repère.

Donc, cette question a deux parties. On nous demande d’abord de trouver l’équation d’une droite, puis de calculer l’aire de ce triangle. Je pense qu’un graphique serait utile ici pour visualiser la situation. Nous avons donc une paire d’axes du repère. On nous dit que le point d’intersection de cette droite avec l’axe des 𝑥 est trois, ce qui signifie qu’elle coupe l’axe des 𝑥 en trois. On dit aussi la droite a une ordonnée à l’origine 𝑦 de sept, elle coupe l’axe des 𝑦 en sept. En reliant ces deux points, j’ai la droite que je cherche pour trouver l’équation de la droite et je peux voir le triangle dont on me demande de calculer l’aire. C’est ce triangle ici.

Commençons donc par la première partie de cette question, qui demande de trouver l’équation de cette droite. Je vais faire cela en utilisant la forme réduite, 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑐. Je peux tout de suite déterminer l’une de ces deux valeurs. Rappelez-vous que 𝑐 représente l’ordonnée à l’origine 𝑦 de la droite. Et on me dit dans la question que c’est égal à sept. Donc, l’équation de la droite est 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus sept. Je dois maintenant calculer le coefficient directeur de cette droite. Et pour ce faire, j’ai besoin des coordonnées de deux points appartenant à la droite. Eh bien, je peux utiliser les coordonnées de ces points, le point d’intersection avec l’axe des 𝑥 et l’ordonnée à l’origine 𝑦.

Le coefficient directeur de la droite, rappelez-vous, est calculé comme étant la variation en 𝑦 divisée par la variation en 𝑥. Ainsi, à l’aide de l’observation du graphique et de l’utilisation de ces deux points, je vais trouver la variation en 𝑦 d’abord. Je peux voir que je passe de gauche à droite sur le graphique, il s’agit de la variation en 𝑦, elle passe de sept à zéro, elle est de moins sept. Il est vraiment important que vous considériez cette variation en 𝑦 comme moins sept, pas sept. La droite est inclinée vers le bas de gauche à droite et présente donc un coefficient directeur négatif. Maintenant, regardons la variation en 𝑥. Je peux voir que je passe de gauche à droite sur ce graphique, la variation en 𝑥 passe de zéro à trois, ce qui me donne une variation en 𝑥 de plus trois.

Maintenant, je peux remplacer la variation en 𝑦 et la variation en 𝑥 dans mon calcul du coefficient directeur de cette droite. Et nous constatons que le coefficient directeur de la droite est égal à moins sept sur trois. Enfin, pour compléter la première partie de la question et trouver l’équation de la droite, je dois substituer cette valeur à 𝑚 dans l’équation. Ainsi, l’équation de cette droite est 𝑦 égale moins sept sur trois 𝑥 plus sept. Vous pouvez parfois être amené à donner votre réponse sous une forme légèrement différente, par exemple, une forme qui ne comporte pas de fractions. Il faudrait donc multiplier l’équation par trois, mais comme cela n’a pas été précisé ici, je vais laisser ma réponse telle qu’elle est actuellement. Voilà donc la première partie de la question terminée.

La deuxième partie consiste à calculer l’aire du triangle formé par cette droite et les deux axes du repère. Nous voyons maintenant sur le graphique qu’il s’agit d’un triangle rectangle car les axes des 𝑥 et 𝑦 se coupent à angle droit. Pour calculer l’aire d’un triangle rectangle, il faut multiplier la base par la hauteur, puis diviser par deux. Donc, en regardant le graphique, je peux voir que la base de ce triangle est de trois unités. La hauteur du triangle est de sept unités. Nous appelons cela le nombre moins sept lorsque nous calculons le coefficient directeur de la droite car la direction était importante. Car lorsque nous examinons la longueur de cette droite pour calculer une aire, nous prenons sa valeur positive de sept. Donc, notre calcul pour l’aire est trois, multiplié par sept, divisé par deux. Et cela nous donne une réponse de 10.5 unités carrées pour l’aire de ce triangle.

Alors, en résumé, quand on nous donne le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine 𝑦 d’une droite, il est courant de déterminer son équation sous forme réduite, 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑐 car les valeurs peuvent être simplement substituées directement dans cette équation. Nous devrons peut-être calculer le coefficient directeur de la droite par nous-même étant donnés deux points appartenant à la droite en utilisant la variation en 𝑦 divisée par la variation en 𝑥. Il serait également possible de donner l’équation d’une droite obtenue à l’aide du coefficient directeur et d’un point, mais ce serait inutilement compliqué si l’information donnée comprend le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine 𝑦, car cela permet de rapprocher facilement la forme réduite.

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