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Vidéo de question : Utilisation du déterminant d’une matrice pour déterminer les valeurs manquantes Mathématiques

Résoudre en 𝑥 : | 0, 5, −5𝑥 et 𝑥, 4, 5 et 4, 1, 3 | = 280.

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Transcription de vidéo

Résoudre en 𝑥 : le déterminant de la matrice zéro, cinq, moins cinq 𝑥, 𝑥, quatre, cinq, quatre, un, trois est égal à 280.

Donc, la première chose que nous devons faire pour résoudre ce problème est de trouver le déterminant de notre matrice. Et si nous essayons de trouver le déterminant de la matrice trois-trois, nous utilisons la première ligne. Et nous utilisons la première ligne pour donner nos coefficients ou les valeurs que nous multiplions par les déterminants de nos sous-matrices, qui vont être des matrices deux-deux. Et je vais vous montrer comment faire. Il convient également de noter que ces valeurs seront positive, négative ou positive, déterminées par le modèle que nous avons. Parce que la première entrée est positive, elle sera donc plus zéro, la deuxième sera négative, la troisième sera positive, et cetera. Donc, ce que cela signifie, c’est que lorsque nous avons un signe négatif au-dessus de l’entrée, cela va changer le signe de la valeur que nous avons obtenue depuis notre première ligne. Si vous avez un résultat positif, le signe restera le même.

Donc, tout d’abord, nous allons avoir zéro multiplié par le déterminant de la sous-matrice quatre, cinq, un, trois. Et nous trouvons cette sous-matrice en supprimant la ligne de la colonne où se trouve le zéro. Et puis, c’est ce qui nous reste après. Donc 𝑥 ne se retrouve pas avec quatre, cinq, un, trois. Ensuite, ce que nous avons c’est moins cinq multiplié par le déterminant de la sous-matrice 𝑥, cinq, quatre, trois. Encore une fois, on trouve cela de la même manière, et c’est moins cinq parce que, comme nous l’avons dit, la deuxième entrée est négative. Et ce que nous entendons par là est que le coefficient ou notre cinq est multiplié par moins un. Nous obtenons donc moins cinq.

Puis, enfin, nous avons moins cinq 𝑥 multiplié par le déterminant de la sous-matrice 𝑥, quatre, quatre, un. Et encore une fois, nous avons fait cela de la même manière. Et cette fois, nous avons toujours moins cinq 𝑥. Et c’est parce que la troisième entrée est positive. Donc, nous multiplions moins cinq 𝑥 par plus un, ce qui nous donne le même signe car cela ne change pas. Et puis, tout cela équivaut à 280. Alors maintenant, ce que nous devons faire est d’évaluer nos sous-matrices, eh bien, le déterminant de nos sous-matrices. Et nous le faisons en utilisant cette méthode.

Donc, si nous avons une sous-matrice deux-deux, nous pouvons l’appeler 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. Ensuite, nous multiplions en diagonale. Nous avons donc 𝑎 multiplié par 𝑑 et 𝑏 multiplié par 𝑐. Et puis, on retire 𝑏 multiplié par 𝑐 de 𝑎 multiplié par 𝑑. Eh bien, pour le premier terme, nous n’avons pas à nous soucier de la sous-matrice. Et c’est parce que nous avons zéro multiplié par le déterminant de la sous-matrice. Donc, tout ce qui est multiplié par zéro n’est que zéro. Et puis, nous avons moins cinq multiplié par. Maintenant, nous avons trois multiplié par 𝑥 ou 𝑥 multiplié par trois, ce qui nous donne trois 𝑥 moins. Ensuite, nous avons cinq multiplié par quatre, soit 20. Et puis, nous avons moins cinq 𝑥 multiplié par. Ensuite, nous avons 𝑥 et c’est parce que nous avions 𝑥 multiplié par un qui est juste 𝑥 moins 16 parce que nous avons quatre multiplié par quatre, ce qui est 16. Et tout cela équivaut à 280.

Alors maintenant, ce que nous devons faire, c’est développer nos parenthèses. Donc, tout d’abord, nous avons zéro moins. Et puis, nous avons cinq multiplié par trois 𝑥, ce qui est 15𝑥 puis plus 100. Et c’est parce que nous avions moins cinq multiplié par moins 20. Et un négatif multiplié par un négatif donne un positif. Et puis, nous avons moins cinq 𝑥 au carré plus 80 𝑥. C’est parce que nous avons moins cinq 𝑥 multiplié par 𝑥, ce qui est moins cinq 𝑥 au carré. Et nous avons moins cinq 𝑥 multiplié par moins 16. Un négatif multiplié par un négatif donne un positif. Donc, cela nous donne un résultat positif de 80𝑥. Cela équivaut à 280. Alors maintenant, si nous simplifions, nous obtenons moins cinq 𝑥 au carré plus 65𝑥 plus 100 est égal à 280.

Alors maintenant, ce que je veux faire, c’est faire en sorte que j’ai plus cinq 𝑥 au carré ou plus 𝑥 au carré. Je vais donc ajouter cinq 𝑥 au carré des deux côtés de l’équation, soustraire 65𝑥 des deux côtés de l’équation et soustraire 100 des deux côtés de l’équation. Donc, je veux rendre notre polynôme égal à zéro. Et quand je fais cela, j’obtiens zéro est égal à cinq 𝑥 au carré moins 65𝑥 plus 180. Alors maintenant, ce que nous voulons faire, c’est résoudre ceci pour trouver 𝑥. Mais la première chose que nous faisons pour nous faciliter la tâche est de diviser par cinq parce que cinq est un facteur de chacun de nos termes. Donc, nous avons zéro est égal à 𝑥 carré moins 13𝑥 plus 36.

Alors maintenant, nous pouvons résoudre ceci en utilisant la factorisation. Et pour factoriser, juste pour nous rappeler ce que nous devons faire, nous devons trouver deux facteurs dont le produit est plus 36 et dont la somme est moins 13. Donc, nous allons avoir zéro est égal à 𝑥 moins neuf multiplié par 𝑥 moins quatre. Et nous obtenons cela parce que neuf multiplié par quatre est 36. Et nous avons moins neuf et moins quatre parce que nous avons eu 36. Mais la somme doit faire moins 13. Nous savons donc que les deux doivent être négatifs. Et puis, vous avez moins neuf et moins quatre qui nous donne moins 13. Magnifique, nous avons factorisé.

Donc en fin de compte, nous pouvons dire que la solution pour 𝑥 va être égale à plus neuf ou plus quatre. Et nous avons obtenu ceci parce que nous voulons trouver la valeur où le polynôme est égal à zéro. Cela signifie donc que l’une de nos parenthèses doit être égale à zéro. Nous pouvons donc les mettre à zéro. Nous obtenons donc 𝑥 moins neuf égal à zéro et 𝑥 moins quatre égal à zéro. Donc, si nous ajoutons neuf de chaque côté de l’équation, nous obtenons 𝑥 est égal à neuf. Si nous ajoutons quatre de chaque côté de l’équation, nous obtenons 𝑥 égale quatre. Nous avons donc une réponse finale 𝑥 égale neuf ou quatre.

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