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Vidéo question :: Déterminer la dérivée d’une fonction racine en utilisant la définition d’une dérivée Mathématiques • Deuxième secondaire

A partir de la définition d’une dérivée, donnez celle de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=√(2𝑥−16).

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Transcription de la vidéo

A partir de la définition d’une dérivée, donnez celle de la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale racine carrée de deux 𝑥 moins 16.

Rappelons tout d’abord la définition d’une dérivée : 𝑓 prime de 𝑥 est égal à la limite quand ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥, le tout divisé par ℎ. Rappelons que pour obtenir 𝑓 de 𝑥 plus ℎ, il suffit de remplacer 𝑥 par 𝑥 plus ℎ dans 𝑓 de 𝑥. Donc dans notre cas, 𝑓 de 𝑥 plus ℎ est égal à la racine carrée de deux multiplié par 𝑥 plus ℎ, moins 16. On développe le radicande et on obtient que 𝑓 de 𝑥 plus ℎ est égal à la racine carrée de deux 𝑥 plus deux ℎ moins 16.

On peut maintenant remplacer par nos expressions dans la définition de la dérivée. À ce stade, on peut utiliser une astuce qui s’avère très utile lorsqu’on cherche à déterminer la dérivée d’une fonction racine en utilisant la définition d’une dérivée. C’est quelque chose que l’on fait souvent lorsqu’on manipule des racines : multiplier par la quantité conjuguée. On rappelle que pour obtenir la quantité conjuguée d’une expression, il suffit de changer le signe situé entre les deux termes. Mais on doit aussi multiplier le dénominateur par cette même quantité. Cela revient alors à multiplier par un et cela ne change pas la valeur de notre fraction.

Commençons par multiplier les numérateurs. On peut le faire de la même façon que lorsqu’on développe des parenthèses contenant des termes algébriques. On commence par multiplier la racine carrée de deux 𝑥 plus deux ℎ moins 16 par la racine carrée de deux 𝑥 plus deux ℎ moins 16. On sait que la racine carrée de 𝑎 multipliée par la racine carrée de 𝑎 est simplement égal à 𝑎. Donc, lorsqu’on multiplie ces deux termes, on obtient simplement le radicande, deux 𝑥 plus deux ℎ moins 16. Il en va de même quand nous multiplions moins la racine de deux 𝑥 moins 16 par la racine de deux 𝑥 moins 16. Mais cette fois-ci, l’un de nos termes est négatif. On doit prendre cela en considération. Donc en appliquant les mêmes règles que précédemment, on obtient moins deux 𝑥 moins 16.

On va maintenant multiplier la racine carrée de deux 𝑥 moins 16 par la racine carrée de deux 𝑥 plus deux ℎ moins 16. On se contente de les écrire l’un à côté de l’autre pour montrer qu’on les a multipliés. Aucune simplification n’est possible. Et enfin, on doit multiplier la racine carrée de deux 𝑥 plus deux ℎ moins 16 par la racine carrée de deux 𝑥 moins 16. On remarque alors qu’on peut éliminer ces deux termes. Donc notre numérateur est simplement deux 𝑥 plus deux ℎ moins 16 moins deux 𝑥 moins 16.

À présent, multiplions les dénominateurs. On peut se contenter d’écrire ℎ multiplié par la racine carrée de deux 𝑥 plus deux ℎ moins 16 plus la racine carrée de deux 𝑥 moins 16. On va maintenant simplifier notre numérateur en développant cette parenthèse en multipliant tous les termes par moins un. Notons que moins 16 devient plus 16. Réduisons à présent l’expression de notre numérateur. On peut éliminer deux 𝑥 et moins deux 𝑥, ainsi que moins 16 et plus 16. Il ne nous reste donc plus que deux ℎ.

Et on remarque que notre numérateur et notre dénominateur partagent un facteur commun. On a ℎ au numérateur et au dénominateur. On sait que ℎ tend vers zéro, mais n’est pas égal à zéro. Et comme le facteur ℎ du dénominateur est multiplié par tout le reste du dénominateur, on peut simplifier par ℎ au numérateur et au dénominateur. Et nous allons ainsi pouvoir calculer la limite quand ℎ tend vers zéro. Notre expression comprend un seul ℎ, au dénominateur. Donc on s’intéresse à ce qui se passe quand ce ℎ tend vers zéro.

Et comme notre fonction est continue, on peut directement substituer h par zéro pour calculer sa limite. Il nous reste alors deux sur la racine carrée de deux 𝑥 moins 16 plus la racine carrée de deux 𝑥 moins 16. Au dénominateur, on a la racine carrée de deux 𝑥 moins 16 plus la racine carrée de deux 𝑥 moins 16 et on peut réécrire cela sous la forme deux fois la racine carrée de deux 𝑥 moins 16. On remarque alors un facteur commun de deux au numérateur et au dénominateur, qu’on peut éliminer. Cela nous donne un sur la racine carrée de deux 𝑥 moins 16. Et c’est notre réponse finale.

L’un des points à retenir de cette vidéo est l’astuce consistant à multiplier par la quantité conjuguée, qui s’avère très utile lorsqu’on cherche à déterminer la dérivée d’une fonction racine en utilisant la définition de la dérivée. A partir de là, il a suffi de quelques manipulations algébriques et d’appliquer la limite pour résoudre le problème.

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