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Vidéo question :: Coefficient de corrélation des rangs de Spearman Mathématiques • Troisième secondaire

Les données ci-dessous représentent la relation entre la production d'une entreprise et les salaires de ses employés pendant 5 ans. Calculez le coefficient de corrélation des rangs de Spearman entre la production et les salaires.

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Les données ci-dessous représentent la relation entre la production d'une entreprise et les salaires de ses employés pendant cinq ans. Calculez le coefficient de corrélation des rangs de Spearman entre la production et les salaires.

Ces données sont composées de cinq couples, chacun ayant une mesure de la production et un salaire. Dans le premier couple par exemple, la production a une valeur de 1 000 et le salaire est de 150. Pour calculer le coefficient de corrélation de Spearman entre ces deux variables, nous allons utiliser cette formule. Dans cette formule, 𝑛 est le nombre de couples de données, qui est ici cinq, et 𝑑 𝑖 est la différence entre les rangs du couple de données 𝑖, pour 𝑖 allant de un à 𝑛. Pour utiliser cette formule, nous devons d’abord classer les données associées à chaque variable séparément. On peut ranger les données dans l’ordre croissant ou décroissant tant que le même système est utilisé pour les deux variables.

Nous allons supposer ici que valeur la plus petite est à la première place, que la deuxième valeur la plus petite est à la deuxième place, et ainsi de suite. Si nous appelons les rangs des données de production 𝑅 p, alors la valeur la plus petite est 1 000, et elle prend le rang un. La valeur de production suivante est 2 000. Elle prend la deuxième place et on lui attribue donc le rang deux. 2 300 est la valeur suivante dans l’ordre croissant, donc elle a le rang trois. Vient ensuite 2 500, qui obtient le rang quatre. Suivie enfin de 4 000 qui est la valeur la plus élevée et qui a le rang cinq.

Faisons maintenant la même chose pour les salaires. En appelant les rangs des salaires 𝑅 s, la valeur la plus petite est 150. Donc, on lui attribue le rang un. 180 est la valeur suivante la plus petite. Donc elle a le rang deux. La valeur suivante est 200 et elle obtient le rang trois. 250 a le rang quatre. Et enfin, on attribue le rang cinq à la valeur 700.

Maintenant, pour notre formule, nous devons d’abord calculer la différence entre les rangs. Il s’agit de 𝑑 𝑖, qui est égale à 𝑅 p moins 𝑅 s. On a ainsi 𝑑 un égale un moins un, ce qui fait bien sûr zéro. Donc 𝑑 un égale zéro. De même, 𝑑 deux égale deux moins trois, ce qui fait moins un. Donc 𝑑 deux est égal à moins un. 𝑑 trois égale quatre moins quatre, ce qui donne zéro. 𝑑 quatre est égal à cinq moins cinq, ce qui est aussi égal à zéro. Et 𝑑 cinq égale trois moins deux, ce qui fait un. Mais la formule utilise en fait 𝑑 𝑖 au carré, qui est la différence entre les rangs de chaque couple au carré. Pour le premier couple, on a zéro au carré égale zéro. Pour le deuxième, moins un au carré égale plus un. Pour le troisième couple, zéro au carré égale zéro. De même pour le quatrième couple ; et enfin pour le dernier couple, un au carré égale un.

Maintenant, d’après la formule, nous devons calculer la somme de ces différences au carré. C’est ce que signifie le symbole 𝛴. Et cette somme est égale à zéro plus un plus zéro plus zéro plus un, ce qui fait deux. Nous avons donc à présent tout ce dont nous avons besoin pour cette formule avec 𝑛 égal à cinq et la somme des différences au carré égale à deux. Le coefficient de corrélation des rangs de Spearman est ainsi égal à un moins six fois deux sur cinq fois cinq au carré moins un, où deux représente la somme des différences au carré et 𝑛 est égal à cinq. En évaluant cette fraction, on trouve un moins 12 sur 120. Cela se simplifie par un moins 0,1, ce qui est égal à 0,9. Le coefficient de corrélation des rangs de Spearman entre la production et les salaires est donc de 0,9.

On rappelle que 𝑟 𝑠 est une mesure de la relation entre les rangs des données des deux variables et qu’il peut prendre des valeurs de moins un à plus un. Un coefficient de corrélation des rangs de Spearman égal à plus un représente une correspondance parfaite entre les rangs. Et un coefficient de moins un représente des rangs totalement opposés. Et si le coefficient de corrélation des rangs de Spearman est proche de zéro, alors on ne peut pas vraiment définir de relation entre les rangs. Dans notre cas, le coefficient a une valeur de 0,9. Et comme cela est très proche de plus un, cela signifie que les rangs ont une corrélation positive très forte.

En faisant un peu de place, nous pouvons écrire une interprétation de notre coefficient ici. Puisque 𝑟 𝑠 est proche de un, les rangs sont très fortement corrélés. Et nous pouvons conclure qu’une production élevée est associée à des salaires élevés, et réciproquement. Nous pourrions par exemple en déduire que plus l’entreprise dépense en salaires, plus la production est élevée, ce qui est bien sûr espéré par l’entreprise.

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