Transcription de la vidéo
Si 𝑀𝐹 est supérieur à 𝑀𝐸, déterminez l’intervalle de valeurs de 𝑥 qui satisfont à la configuration présentée.
Nous commençons par examiner la figure pour voir les informations dont nous disposons. Nous avons un rayon, qui est surligné en orange, dont la longueur 𝐴𝑀 est égale à 33 centimètres. Nous avons également deux cordes surlignées en jaune. À gauche, nous avons la corde 𝐷𝐶 de longueur 24 centimètres. Et à droite, nous avons 𝐴𝐵 de longueur égale à 𝑥 plus quatre centimètres. Nous avons également le centre du cercle, qui est le point 𝑀. Nous rappelons que la distance d’une corde au centre est mesurée par la longueur du segment perpendiculaire à la corde et passant par le centre. Par conséquent, nous reconnaissons 𝑀𝐹 comme étant la distance entre la corde 𝐷𝐶 et le centre 𝑀. Et le segment 𝑀𝐸, dont on nous dit qu’il est plus court que 𝑀𝐹, représente la distance de la corde 𝐴𝐵 du centre 𝑀.
Nous allons maintenant déplacer ces informations en bas de l’écran afin d’avoir de l’espace pour la prochaine étape. Pour répondre à cette question, nous avons besoin de plus d’informations concernant les valeurs possibles de 𝑥. Pour ce faire, nous avons besoin d’un moyen de comparer les longueurs des deux cordes. Nous rappelons donc un théorème qui concerne la relation entre les longueurs des cordes et leurs distances du centre. Ce théorème stipule que pour deux cordes d’un même cercle, la corde la plus proche du centre a une longueur plus grande que l’autre. Dans cet exemple, nous avons deux cordes 𝐷𝐶 et 𝐴𝐵. L’une de ces deux cordes est la plus proche du centre. On nous dit que 𝑀𝐹 est supérieur à 𝑀𝐸, ce qui signifie que la corde 𝐴𝐵 est la plus proche du centre du cercle.
Cela revient à dire que la corde 𝐴𝐵 a une longueur supérieure à la corde 𝐶𝐷. Dans le diagramme, nous notons que 𝐴𝐵 est égal à 𝑥 plus quatre centimètres et 𝐶𝐷 est égal à 24 centimètres. Par conséquent, l’inégalité 𝐴𝐵 supérieure à 𝐶𝐷 peut être écrite comme 𝑥 plus quatre est supérieur à 24. La résolution de cette inégalité nous donne que 𝑥 est supérieur à 20. Notre objectif est de trouver l’intervalle de valeurs de 𝑥. Et nous avons réussi à trouver la borne inférieure de cet intervalle. Nous devons réfléchir afin de trouver la borne supérieure. Maintenant que nous avons fait de la place, nous allons voir quelle pourrait être la longueur maximale de la corde 𝐴𝐵. Nous sommes particulièrement intéressés par cette corde car sa longueur est une fonction de 𝑥.
Nous rappelons que la longueur d’une corde est plus grande quand elle est plus proche du centre, donc la corde la plus longue est formée lorsque la distance au centre est nulle. Si la distance entre une corde et le centre est nulle, la corde doit contenir le centre. Dans ce cas, la corde est le diamètre du cercle. Cela signifie que la longueur maximale de la corde 𝐴𝐵 serait la même que la longueur du diamètre du même cercle. Puisque le rayon du cercle est de 33 centimètres, son diamètre est deux fois 33. Cela nous indique que la longueur de la corde 𝐴𝐵 ne peut pas dépasser 66 centimètres. De plus, comme 𝐴𝐵 ne contient pas le centre 𝑀 dans le diagramme, nous savons que la longueur de la corde 𝐴𝐵 doit être strictement inférieure à 66 centimètres.
En remplaçant par 𝑥 plus quatre comme longueur de 𝐴𝐵, nous avons 𝑥 plus quatre est inférieur à 66, c’est-à-dire 𝑥 est inférieur à 62. Cela nous donne la borne supérieure pour 𝑥. En combinant les bornes inférieure et supérieure, nous avons 20 inférieur à 𝑥 inférieur à 62. Ces inégalités signifient que l’intervalle de valeurs de 𝑥 contient tous les nombres compris entre 20 et 62, 20 et 62 n’étant pas inclus. En notation d’intervalle, notre réponse peut s’écrire sous la forme 20 point-virgule 62 entre parenthèses ou entre crochets ouverts.
En résumé, nous avons trouvé la borne inférieure 20 en comparant la distance de nos deux cordes au centre, et la corde la plus proche du centre était la corde la plus longue. Ensuite, pour trouver la borne supérieure 62, nous avons examiné la corde la plus longue possible, à savoir la longueur du diamètre. La combinaison de notre borne inférieure et de notre borne supérieure nous a donné une réponse finale, que nous pouvons écrire sous la forme d’une double inéquation ou en notation d’intervalle.