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Vidéo de question : Déterminer une inconnue dans la limite d’une différence de puissances Mathématiques

Déterminez les valeurs de 𝑘 pour lesquelles on a lim_(𝑥 → 𝑘)(𝑥⁶−𝑘⁶)/(𝑥⁴−𝑘⁴)=24

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Transcription de vidéo

Déterminez les valeurs de 𝑘 pour lesquelles on a : limite quand 𝑥 tend vers 𝑘 de 𝑥 puissance six moins 𝑘 puissance six, le tout divisé par 𝑥 puissance quatre moins 𝑘 puissance quatre, égale 24.

Dans cette question, nous devons déterminer les valeurs d’une constante 𝑘 qui satisfont une certaine limite. Et puisqu’il s’agit de la limite d’une fonction rationnelle, on pourrait être tenté d’essayer de la calculer par substitution directe. Cependant, si on remplace 𝑥 par 𝑘 dans notre fonction rationnelle, on obtient 𝑘 puissance six moins 𝑘 puissance six, le tout divisé par 𝑘 puissance quatre moins 𝑘 puissance quatre. Et en simplifiant, on obtient la forme indéterminée zéro divisé par zéro.

Donc on ne peut pas calculer cette limite simplement par substitution directe. Au lieu de cela, nous devons remarquer que cette limite est donnée sous la forme d’une différence de puissances. Commençons par rappeler le résultat suivant. Pour toutes constantes réelles 𝑎, 𝑛 et 𝑚, où 𝑚 est différent de zéro, la limite quand 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑥 puissance 𝑛 moins 𝑎 puissance 𝑛, le tout divisé par 𝑥 puissance 𝑚 moins 𝑎 puissance 𝑚, est égale à 𝑛 divisé par 𝑚, multiplié par 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑚. Et ce résultat est valable à condition que 𝑎 puissance 𝑛, 𝑎 puissance 𝑚 et 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑚 existent.

On souhaite appliquer cette formule à la limite qui nous est donnée dans l’énoncé. On peut voir que les deux puissances du numérateur de notre limite sont égales à six. Donc on pose 𝑛 égale six. Et les deux puissances du dénominateur sont égales à quatre. Donc on pose 𝑚 égale quatre. Enfin, la valeur constante 𝑎 est ici égale à 𝑘. Par conséquent, on peut calculer notre limite en remplaçant ces valeurs dans la formule. Cela nous donne six quarts fois 𝑘 puissance six moins quatre. On peut simplifier cette expression. Six sur quatre est égal à trois sur deux et six moins quatre est égal à deux. Donc on obtient trois demis fois 𝑘 au carré.

Il ne faut pas oublier que dans cette question, notre objectif est de déterminer les valeurs de 𝑘 telles que notre limite est égale à 24. Par conséquent, on doit trouver les valeurs de 𝑘 pour lesquelles on a trois demis fois 𝑘 au carré égale 24. Il suffit donc de résoudre l’équation trois demis fois 𝑘 au carré égale 24. On commence par multiplier les deux côtés de l’équation par deux pour obtenir trois 𝑘 au carré égale 48. Puis on divise par trois des deux côtés, ce qui nous donne 𝑘 au carré égale 48 tiers, ce qui est égal à 16. Enfin, on résout l’équation en prenant la racine carrée des deux côtés, sans oublier que cela nous donne une racine positive et une racine négative. La constante 𝑘 est égale à plus ou moins quatre.

Par conséquent, nous avons trouvé deux valeurs de 𝑘 pour lesquelles la limite quand 𝑥 tend vers 𝑘 de 𝑥 puissance six moins 𝑘 puissance six, le tout divisé par 𝑥 puissance quatre moins 𝑘 puissance quatre, est égale à 24. Ces deux valeurs de 𝑘 sont quatre et moins quatre.

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