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Vidéo de question : Déterminer si deux plans sont parallèles ou perpendiculaires Mathématiques

Déterminez si les plans d’équations (4 ; 2 ; 1 ) ⋅ 𝐫 = 8 et (−𝑥 / 5) + (3𝑦 / 10) + (𝑧 / 5) = 1 sont parallèles ou perpendiculaires.

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Transcription de vidéo

Déterminez si les plans d’équations quatre, deux, un scalaire 𝐫 égale huit et moins 𝑥 sur cinq plus trois 𝑦 sur 10 plus 𝑧 sur cinq égale un sont parallèles ou perpendiculaires.

Pour les équations de ces deux plans, la première chose à faire est d’identifier les composantes de vecteurs normaux à chacun des plans. L’équation du premier plan, que l’on peut appeler plan un, nous est donnée sous forme vectorielle. Cela signifie que le vecteur dont on calcule le produit scalaire avec 𝐫 est un vecteur normal au plan. Si nous appelons ce vecteur normal 𝐧 un, nous pouvons dire qu’il a les composantes quatre, deux, un.

En ce qui concerne l’équation du deuxième plan, que nous appellerons plan deux, elle nous est presque donnée sous forme générale. Pour écrire l’équation sous cette forme, nous devons simplement faire apparaître un zéro au membre droit au lieu d’un un. On peut l’obtenir en soustrayant un aux deux membres. Mais dans tous les cas, ce sont les valeurs par lesquelles on multiplie 𝑥, 𝑦 et 𝑧 qui nous intéressent dans cette équation. Ces coefficients constituent en effet les composantes d’un vecteur normal à ce plan. Nous appellerons ce vecteur 𝐧 deux. Et nous voyons qu’il a les composantes moins un sur cinq, trois sur 10 et un sur cinq.

Nous pouvons cependant remarquer que ce n’est pas le seul vecteur normal, ou orthogonal, au plan deux. On peut en fait multiplier ce vecteur par n’importe quelle constante non nulle 𝐶, et le vecteur résultant sera toujours normal au plan. Pour simplifier 𝐧 deux, définissons donc 𝐶 égale à cinq. Cela revient à multiplier toutes les composantes de ce vecteur par cinq. Et cela nous donne le vecteur moins un, trois sur deux, un.

Maintenant que nous connaissons les composantes de deux vecteurs normaux aux plans, nous pouvons commencer à vérifier si ces plans sont parallèles ou perpendiculaires. On rappelle que si deux plans sont parallèles, leurs vecteurs normaux 𝐧 un et 𝐧 deux doivent être des multiples l’un de l’autre. C’est-à-dire qu’il doit exister une constante, que l’on peut appeler 𝐾, telle qu’un des vecteurs est égal à 𝐾 fois l’autre. Si les plans ne sont pas parallèles, ils peuvent être perpendiculaires. Si c’est le cas, le produit scalaire de 𝐧 un et 𝐧 deux est égal à zéro.

Effectuons donc ces tests avec nos deux plans, en commençant par vérifier s’ils sont parallèles. On observe pour cela les deux vecteurs normaux et on analyse en particulier leurs composantes en 𝑥. S’il existe une constante 𝐾 telle que 𝐧 un est égal à 𝐾 fois 𝐧 deux, alors nous pouvons déterminer la valeur de cette constante en résolvant cette équation des composantes en 𝑥. Si quatre égale 𝐾 fois moins un, cela signifie que 𝐾 doit être égal à moins quatre. C’est la seule valeur que 𝐾 peut prendre pour que cette équation soit vraie.

Et ce que nous allons maintenant faire est d’étudier les composantes en 𝑦 et en 𝑧 pour vérifier si la même valeur de 𝐾 fonctionne. Essayons d’abord les composantes en 𝑦. Nous souhaitons vérifier si deux est égal à 𝐾 fois trois sur deux, où 𝐾 est égal à moins quatre. Moins quatre fois trois sur deux égale moins six. Ce qui n’est pas égal à deux. Par conséquent, cette valeur de 𝐾 n’est pas valide pour toutes les composantes des vecteurs normaux. Et cela signifie que ces vecteurs ne sont pas des multiples l’un de l’autre. Cela nous indique que les deux plans de vecteurs normaux 𝐧 un et 𝐧 deux ne sont pas parallèles.

Vérifions donc s’ils sont perpendiculaires. Si c’est le cas, le produit scalaire de leurs vecteurs normaux doit être nul. Ce produit scalaire est ici égal à quatre fois moins un plus deux fois trois sur deux plus un fois un, ce qui se simplifie par moins quatre plus trois plus un. Et cela est bien égal à zéro, ce qui signifie que 𝐧 un scalaire 𝐧 deux est égal à zéro. Nous pouvons donc conclure que les deux plans de cet exemple sont perpendiculaires.

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