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Vidéo question :: Déterminer la probabilité d’intersection de deux événements Mathématiques • Troisième préparatoire

Lors d’un sondage, on demande à 49 personnes si elles avaient récemment fréquenté un club. On trouve que 28 personnes ont fréquenté le club A, 38 personnes ont fréquenté le club B et 8 n’ont fréquenté aucun club. Quelle est la probabilité qu’une personne choisie au hasard de l’échantillon ait fréquenté les deux clubs ?

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Transcription de la vidéo

Lors d’un sondage, on demande à 49 personnes si elles avaient récemment fréquenté un club. On trouve que 28 personnes ont fréquenté le club A, 38 personnes ont fréquenté le club B et 8 n’ont pas fréquenté aucun club. Quelle est la probabilité qu’une personne choisie au hasard de l’échantillon ait fréquenté les deux clubs ?

Il existe de nombreuses façons d’aborder ce problème, mais nous allons l’examiner à travers un diagramme de Venn. Le cercle de gauche comprend toutes les personnes qui ont fréquenté le club A. Le cercle de droite comprend toutes les personnes qui ont fréquenté le club B. Et l’intersection des deux cercles comprend les personnes qui ont assisté aux deux.

Comme le diagramme de Venn contient les 49 personnes, en dehors des cercles, se trouveront les huit personnes qui n’ont été dans aucun des deux clubs. 28 personnes ont fréquenté le club A. Nous pouvons donc écrire le nombre 28 à l’intérieur du cercle de gauche. 38 personnes ont fréquenté le club B. Cela signifie que nous pouvons écrire 38 à l’intérieur du cercle de droite. Comme huit personnes n’ont fréquenté aucun des deux clubs, nous pouvons écrire le chiffre huit en dehors des cercles.

Vous remarquerez actuellement qu’il n’y a pas de nombre à l’intersection du cercle A et du cercle B. De même, lorsque nous avons les trois nombres 28, 38 et huit, nous obtenons une réponse de 74. Cependant, il n’y avait que 49 personnes dans le sondage. Cela signifie que nous devons soustraire 49 à 74 car certaines personnes ont été comptées deux fois - les personnes qui ont fréquenté le club A et le club B. 74 moins 49 est égal à 25. Cela signifie que 25 personnes ont fréquenté le club A et le club B.

Alors que nous pourrions répondre à la question « quelle est la probabilité qu’une personne prise au hasard fréquente les deux clubs ? » à partir du diagramme, il est important que nous complétions le diagramme de Venn avec précision. Si nous considérons le cercle A, nous savons que 25 personnes ont fréquenté le club A et le club B. Au total, 28 personnes ont fréquenté le club A. Par conséquent, le nombre de personnes qui ont fréquenté uniquement le club A était de trois car trois plus 25 est égal à 28. Nous pouvons faire la même chose pour les 38 personnes qui ont fréquenté le club B : 38 moins 25 est égal à 13. Par conséquent, 13 personnes ont fréquenté le club B.

Nous pouvons vérifier que notre diagramme est correct en additionnant les quatre nombres : 25 plus trois plus 13 plus huit. Comme cela équivaut à 49, nous savons que notre diagramme de Venn est valide.

La probabilité qu’un événement se produise est le nombre d’issues favorables divisé par le nombre d’issues possibles. Dans ce cas, la probabilité qu’une personne fréquente les deux clubs est de 25 sur 49 ou de 25 quarante-neuvièmes car il s’agissait de 25 personnes fréquentant les deux clubs et de 49 personnes ayant participé au sondage, au total.

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