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Vidéo de la leçon : Applications de la deuxième loi de Newton : poulie horizontale Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des problèmes sur le mouvement de deux corps reliés par une corde passant par une poulie lisse où un des corps est sur une table horizontale.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des problèmes sur le mouvement de deux corps reliés par une corde passant par une poulie lisse où un des corps est sur une table horizontale. Selon les situations, la table pourra être lisse ou rugueuse. Nous allons donc résoudre des problèmes avec et sans frottements. Nous allons commencer par rappeler la deuxième loi de Newton et voir comment nous pouvons l’utiliser dans ce type de problème.

La deuxième loi de Newton sur le mouvement stipule que l’accélération d’un objet dépend de deux variables : de la force résultante agissant sur l’objet et de la masse de l’objet. Cela nous amène à l’équation : la force est égale à la masse multipliée par l’accélération. Dans tous les exemples de cette vidéo, nous étudierons une poulie lisse. Cela signifie qu’il n’y aura pas de frottements au niveau de la poulie. Les exemples impliqueront également une corde légère inextensible. Cela signifie que la corde n’a pas de masse et a une longueur fixe. Comme la corde est inextensible, l’accélération des objets attachés l’un à l’autre sera la même. Enfin, si l’exemple implique une table rugueuse, nous devrons prendre en compte la force de frottement. Cette force de frottement est égale à 𝜇 fois la force de réaction 𝑅, où 𝜇 est le coefficient de frottement dont la valeur est comprise entre zéro et un inclus. Il représente à quel point la table est rugueuse. Plus la valeur de 𝜇 est élevée, plus la force de frottement est grande.

Dans le premier exemple, nous devons calculer la tension dans la corde.

Deux corps de masses de 15 et 16,5 kilogrammes sont attachés aux extrémités opposées d’une corde légère inextensible passant par une poulie lisse fixée au bord d’une table horizontale lisse. Le corps de plus grande masse est placé sur la table lisse tandis que le plus petit est suspendu verticalement sous la poulie. Déterminez la tension dans la corde sachant que l’accélération de la pesanteur 𝑔 est égale à 9,8 mètres par seconde carrée.

Pour toutes les questions de ce type, nous commençons par modéliser la situation avec un schéma. Il est indiqué que les masses des deux corps sont de 15 et 16,5 kilogrammes. Leurs poids vers le bas sont donc respectivement égaux à 15𝑔 et 16,5𝑔, où 𝑔 est l’accélération de la pesanteur égale à 9,8 mètres par seconde carrée. La poulie et la table sont toutes les deux lisses, nous n’avons donc pas besoin de considérer les frottements dans cette question. La tension 𝑇 dans la corde est constante. Comme la corde est inextensible, lorsque le système est libéré du repos, les deux corps se déplacent avec la même accélération. Nous supposons alors que le corps suspendu accélère vers le bas.

Nous pouvons maintenant utiliser la deuxième loi de Newton, force égale masse fois accélération, pour établir quelques équations. Le corps sur la table se déplace dans la direction horizontale. La seule force agissant dans cette direction est la tension 𝑇. Par conséquent, 𝑇 égale 16,5 fois 𝑎. Le corps suspendu B accélère quant à lui dans la direction verticale vers le bas. Le poids de 15𝑔 agit dans le même sens tandis que la tension agit dans le sens opposé. Cela signifie que la somme des forces est égale à 15𝑔 moins 𝑇. Et qu’elle est égale à 15𝑎. Comme on suppose que 𝑔 égale 9,8 et que 15 fois 9,8 égale 147, cette équation se simplifie par 147 moins 𝑇 égale 15𝑎.

Nous avons maintenant un système de deux équations que nous pouvons résoudre pour calculer l’accélération 𝑎 et la tension dans la corde 𝑇. Bien que seule la tension nous intéresse dans cette question, il est plus facile de calculer la valeur de 𝑎 en premier. Car nous avons déjà une expression de 𝑇 dans l’équation un. Substituer cette expression dans l’équation deux donne 147 moins 16,5𝑎 égale 15𝑎. On peut ajouter 16,5𝑎 aux deux membres et on a 147 égale 31,5𝑎. Enfin, en divisant par 31,5, on obtient 𝑎 égale quatorze tiers ou 14 sur trois. Et on peut maintenant substituer cette valeur dans l’équation un. On multiplie quatorze sur trois par 16,5. Et on obtient une réponse de 77. Nous pouvons donc conclure que la tension dans la corde est de 77 newtons.

Dans l’exemple suivant, nous allons traiter un problème avec une table horizontale rugueuse.

Un corps de masse de 203 grammes repose sur une table horizontale rugueuse. Il est relié par une corde légère inextensible passant par une poulie lisse fixée au bord de la table à un corps de masse de 493 grammes suspendu verticalement sous la poulie. Sachant que le coefficient de frottement entre le premier corps et la table est de 0,2, déterminez l’accélération du système. Supposez que 𝑔 égale 9,8 mètres par seconde carrée.

Nous commençons par faire un schéma du problème. Comme il y a 1 000 grammes dans un kilogramme, le corps reposant sur la table a un poids vers le bas de 0,203𝑔. Soit sa masse multipliée par l’accélération de la pesanteur. Comme 𝑔 égale 9,8 mètres par seconde carrée, l’intensité du poids vers le bas est égale à 1,9894 newtons. Le corps suspendu librement a une masse de 493 grammes, ce qui équivaut à 0,493 kilogrammes. En multipliant cela par 9,8, on obtient un poids vers le bas de 4,8314 newtons. Nous savons que la tension dans la corde est constante car il n’y a pas de frottement dans la poulie. Mais la table horizontale est rugueuse, il y a donc une force de frottement entre le corps et la table. Nous devons également prendre en compte la force de réaction verticale vers le haut de la table sur le corps. Lorsque le système est libéré, le corps suspendu librement accélère vers le bas et le corps sur la table accélère vers la poulie. Comme la corde est inextensible, ces corps auront la même accélération.

Comme précédemment, nous pouvons résoudre ce problème en utilisant deux équations, en commençant par la deuxième loi de Newton. Elle stipule que la somme des forces est égale à la masse multipliée par l’accélération. Et nous allons ensuite utiliser le fait que la force de frottement est égale à 𝜇𝑅, où 𝜇 est le coefficient de frottement, égal à 0,2 dans ce cas. On commence par le corps A sur la table. Il n’a pas d’accélération dans la direction verticale. Par conséquent, les forces vers le haut sont égales aux forces vers le bas. 𝑅 égale 1,9894. Concernant les forces horizontales, on a 𝑇 moins 𝐹 r. En effet, la tension agit dans le sens positif et la force de frottement dans le sens négatif. Cela est égal à la masse du corps de 0,203 fois l’accélération 𝑎.

Quant au corps suspendu, il accélère vers le bas. La somme des forces agissant sur lui est égale à 4,8314 moins 𝑇. Et cette somme est égale à 0,493𝑎. La force de frottement est égale à 𝜇𝑅, soit 0,2 fois 1,9894. Ce qui fait 0,39788. Nous avons maintenant un système de deux équations que nous pouvons résoudre pour calculer la valeur de la tension 𝑇 et de l’accélération 𝑎. La question nous demande de calculer l’accélération, il est donc logique d’éliminer 𝑇 de ces équations. On peut pour cela additionner l’équation un et l’équation deux car les 𝑇 s’annulent. Le membre gauche devient 4,8314 plus moins 0,39788 et le membre droit devient 0,696𝑎.

Simplifier le membre gauche donne 4,43352. Diviser les deux membres de cette équation par 0,696 nous permet d’obtenir 𝑎 égale 6,37. L’accélération du système est de 6,37 mètres par seconde carrée.

Nous pourrions substituer cette valeur dans l’équation un ou deux pour calculer la tension. Mais cela n’est pas demandé dans la question.

Dans le dernier exemple, nous devrons faire appel aux formules du mouvement rectiligne uniformément varié.

Un corps de 200 grammes repose sur une table horizontale rugueuse. Il est relié par une corde légère inextensible passant par une poulie lisse fixée au bord d’une table à un autre corps de même masse suspendu librement sous la poulie à deux centimètres du sol. Le coefficient de frottement entre la table et le corps posé sur celle-ci est égal à un tiers. Sachant que le système a été libéré du repos et que le corps suspendu est descendu jusqu’à ce qu’il touche le sol, pendant combien de temps supplémentaire le corps sur la table s’est-il déplacé jusqu’à atteindre le repos ? Supposez que l’accélération de la pesanteur 𝑔 est égale à 9,8 mètres par seconde carrée.

Il y a beaucoup d’informations dans cette question, nous allons donc commencer par dessiner un schéma. Nous avons deux corps de même masse de 200 grammes. Le poids de ces corps est égal à la masse fois l’accélération de la pesanteur. Comme il y a 1 000 grammes dans un kilogramme, les deux corps ont un poids vers le bas de 0,2𝑔. La tension dans toute la corde est égale. Lorsque le système est libéré, le corps suspendu librement accélère vers le bas et le corps sur la table accélère vers la droite. Comme la table horizontale est rugueuse, il y aura une force de frottement agissant dans le sens opposé au déplacement du corps sur la table. Celui-ci subit également une force de réaction verticale vers le haut.

Nous savons que la force de frottement est égale à 𝜇 fois la force de réaction avec 𝜇 le coefficient de frottement, égal à un tiers. La deuxième loi de Newton stipule que la force est égale à la masse fois l’accélération. Nous pouvons l’utiliser pour décomposer les forces verticalement et horizontalement. Le corps sur la table ne se déplace pas verticalement. Par conséquent, les forces vers le haut doivent être égales aux forces vers le bas. Cela donne 𝑅 égale 0,2𝑔. Et la force de frottement est égale au tiers de cela. La force de frottement est donc de 49 sur 75 newtons. Nous ajoutons sur le schéma que le corps suspendu librement est à deux centimètres du sol et faisons un peu de place pour la suite des calculs.

En étudiant les forces horizontales agissant sur le corps sur la table, on trouve que la somme des forces est égale à 𝑇 moins 𝐹 r. Et elle est égale à 0,2𝑎. On substitue ici la valeur de la force de frottement. Le corps suspendu accélère quant à lui vers le bas. Cela nous donne l’équation 0,2𝑔 moins 𝑇 égale 0,2𝑎. Nous avons ainsi un système à deux équations que nous pouvons résoudre pour calculer l’accélération 𝑎. Additionner l’équation un et l’équation deux nous donne 98 sur 75 égale 0,4𝑎. En divisant les deux membres par 0,4, on obtient une accélération de 49 sur 15. Une fois libéré, le système se déplace avec une accélération de 49 sur 15 mètres par seconde au carré.

Après que le corps suspendu touche le sol, la corde devient lâche et sa tension est égale à zéro. Nous pouvons alors calculer l’accélération du corps sur la table après cela en résolvant moins 49 sur 75 égale 0,2𝑎. Diviser les deux membres de cette équation par 0,2 donne 𝑎 égale moins 49 sur 15. Nous remarquons que l’accélération après que la corde devienne lâche est égale à l’opposé de l’accélération juste avant ce point.

Étudions maintenant ce qui arrive au corps sur la table tout au long de son mouvement. Il part du repos et accélère uniformément à 49 sur 15 mètres par seconde carrée. Pendant ce temps, il parcourt une distance de deux centimètres car il doit parcourir la même distance que le corps B. Après que le corps suspendu touche le sol, le corps sur la table décélère. Son accélération est égale à moins 49 sur 15 mètres par seconde carrée. Nous devons alors calculer la distance parcourue avant qu’il atteigne le repos. La vitesse finale de la première partie du mouvement est égale à la vitesse initiale de la deuxième partie.

Nous pouvons maintenant utiliser les formules du mouvement rectiligne uniformément varié ou MRUV pour calculer le déplacement 𝑠. Nous connaissons les valeurs suivantes pour les deux parties du mouvement. Nous pouvons maintenant substituer ces valeurs dans l’équation 𝑣 au carré égale 𝑢 au carré plus deux 𝑎𝑠. Dans la première partie, comme 𝑢 est égal à zéro, on a 𝑣 au carré égale deux fois 49 sur 15 fois deux. Dans la deuxième partie, comme 𝑣 est égal à zéro, on a zéro égal 𝑣 au carré plus deux fois moins 49 sur 15 fois 𝑠.

On peut additionner ces équations pour éliminer 𝑣 au carré. Et on peut alors diviser cette nouvelle équation par deux et par 49 sur 15. Deux moins 𝑠 égale zéro, ce qui signifie que 𝑠 est égal à deux. Le corps parcourt deux centimètres supplémentaires avant d’atteindre le repos. Il s’agit de la même distance que pendant la première partie du mouvement car l’accélération et la décélération sont égales.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Dans cette vidéo, nous avons utilisé la deuxième loi de Newton sur le mouvement, 𝐹 égale 𝑚𝑎, pour résoudre des problèmes impliquant un corps sur un plan horizontal attaché à un autre corps suspendu sous une poulie lisse. Lorsque la surface horizontale est rugueuse, on peut calculer la force de frottement en multipliant 𝜇 par la force de réaction avec 𝜇 le coefficient de frottement dont la valeur est comprise entre zéro et un. Pour des problèmes plus complexes, nous avons vu que nous pouvions utiliser les formules du mouvement rectiligne uniformément varié ou MRUV. Elles s’appliquent lorsque l’accélération est constante.

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