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Vidéo question :: Trouver le temps mis par un objet projeté vers le haut pour atteindre une hauteur donnée Mathématiques • Deuxième secondaire

Un objet a été projeté verticalement vers le haut à 53,9 m/s. Sachant qu’en un instant particulier t sa hauteur était de 49 m, déterminez toutes les valeurs possibles de 𝑡. Prenez 𝑔 = 9,8 m/s².

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Transcription de la vidéo

Un objet est projeté verticalement vers le haut à 53,9 mètres par seconde. A un moment donné t, sa hauteur est de 49 mètres, trouvez toutes les valeurs possibles de 𝑡. Prendre 𝑔 est égal à 9,8 mètres par seconde au carré.

Dans cette question, on nous dit qu’un objet est projeté vers le haut. On nous demande de trouver toutes les valeurs possibles de 𝑡 lorsque la hauteur est de 49 mètres. On peut se demander pourquoi il y a plus d’une valeur possible de 𝑡. Regardons donc la trajectoire de cet objet. On nous dit qu’il est projeté vers le haut avec une vitesse de 53,9 mètres par seconde. Mais à un moment donné, la vitesse atteint zéro. Et l’objet retourne au point de départ. Par conséquent, notre objet peut potentiellement être à une hauteur de 49 mètres à deux instants distincts.

Pour répondre à cette question, nous allons utiliser les équations cinématiques du mouvement. Commençons donc par voir si nous pouvons attribuer des valeurs à l’une de ces variables. On nous demande de trouver la valeur du temps 𝑡. Donc, cette variable devra être dans l’équation du mouvement que nous sélectionnons. On nous dit que l’objet est projeté vers le haut à 53,9 mètres par seconde. Donc, notre 𝑣 indice zéro - notre vitesse initiale - est de 53,9 mètres par seconde. Vous pouvez également avoir le vecteur vitesse initiale écrit avec la lettre 𝑢 à la place.

La hauteur ou le déplacement de cet objet est de 49 mètres. Nous pouvons donc utiliser la lettre 𝑑 pour indiquer cette variable bien qu’on l’écrive souvent avec la lettre 𝑠. Et enfin, notre accélération 𝑎 est prise comme accélération gravitationnelle négative, que nous pouvons écrire comme moins 9,8 mètres par seconde au carré. Une équation de mouvement incluant ces quatre variables sera 𝑑 égal à 𝑣 indice zéro 𝑡 plus un demi 𝑎𝑡 au carré. En termes de lettres 𝑢 et 𝑠, l’équation serait 𝑠 égale 𝑢𝑡 plus un demi 𝑎𝑡 au carré. En utilisant les valeurs de nos variables dans cette équation on a alors 49 est égal à 53,9𝑡 plus un demi fois moins 9,8𝑡 au carré. En simplifiant notre côté droit, nous avons donc 49 est égal à 53,9𝑡 moins 4,9𝑡 au carré.

En remarquant que nous avons maintenant un terme en 𝑡 et un terme en 𝑡 au carré, nous allons réorganiser cette équation en une forme qui peut être facilement factorisée. Ainsi, en ajoutant 4,9𝑡 au carré et en soustrayant 53,9𝑡 des deux côtés de l’équation, nous obtenons 4,9𝑡 au carré moins 53,9𝑡 plus 49 égale zéro. Maintenant, nous avons notre expression du second degré sous une forme plus facile à factoriser. Mais simplifions-nous la vie en supprimant les nombres décimaux. Et nous pouvons le faire en multipliant toute notre équation par 10.

Nous avons maintenant quelques grands coefficients. Nous avons 49 et 490. Voyons donc si nous pouvons prendre 49 comme facteur commun. Puisque 539 est également divisible par 49, alors nous pouvons écrire notre équation comme 𝑡 au carré moins 11𝑡 plus 10 égale zéro. Alors maintenant, pour factoriser notre équation, nous recherchons deux valeurs dont la multiplication donne 10 et dont l’addition donne moins 11. Puisque les valeurs de moins 10 et de moins un correspondraient, notre forme factorisée est 𝑡 moins 10 fois 𝑡 moins un égal à zéro.

Pour trouver une solution pour 𝑡, nous mettons alors chacune des expressions entre parenthèses égale à zéro et cela donne 𝑡 moins 10 est égal à zéro ou 𝑡 moins un est égal à zéro. Dans notre première option, lorsque 𝑡 moins 10 est égal à zéro, alors 𝑡 doit être égal à 10 secondes. Et dans notre deuxième option, lorsque 𝑡 moins un est égal à zéro, alors 𝑡 est égal à une seconde.

Donc, notre réponse finale pour notre temps 𝑡 est alors que 𝑡 est égal à une seconde ou 𝑡 est égal à 10 secondes.

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