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Vidéo question :: Résoudre une équation vectorielle en utilisant l’inverse d’une matrice Mathématiques • Troisième secondaire

Sachant que (1, −1, −1 et −2, 0, 0 et −8, −4, 0) (𝑥 et 𝑦 et 𝑧) = (4 et 8 et 0), trouvez les valeurs de 𝑥, 𝑦, et 𝑧.

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Transcription de la vidéo

Étant donné cette équation matricielle les valeurs de 𝑥, 𝑦 et 𝑧.

Rappelons la signification de la notation: 𝐴 multiplié par 𝑛 minuscule, car c’est un vecteur, est égal à 𝑏. Pour trouver les valeurs de 𝑥, 𝑦 et 𝑧, qui sont les éléments du vecteur que nous avons appelé 𝑛, nous devons trouver l’inverse de 𝐴.

𝑛 est égal à l’inverse de 𝐴 multiplié par 𝑏. Juste un rappel cependant, l’ordre est important. En effet, cela ne fonctionne pas si nous calculons 𝑏 fois l’inverse de 𝐴 car le nombre de colonnes dans 𝑏 n’est pas égal au nombre de lignes dans 𝐴.

Pour trouver l’inverse de 𝐴, nous avons quelques étapes complexes à suivre. Mais, si vous êtes autorisé à utiliser une calculatrice graphique, vous pouvez trouver directement la matrice inverse et passer à la dernière étape. Étape un) Trouvez la matrice des cofacteurs, étape deux, transposer la matrice des cofacteurs pour trouver la matrice adjointe et étape trois, multiplier par un sur le déterminant de 𝐴.

Pour la matrice donnée, ceci est la formule que nous devons utiliser pour nous aider à trouver la matrice des cofacteurs. Une bonne façon de s’en souvenir est de barrer la ligne et la colonne de l’élément que vous regardez et de déterminer le déterminant de la matrice restante. Vous pouvez ensuite appliquer en alternance le signe adéquat à ce nombre. Pour la ligne du haut c’est positif, négatif, positif, pour la deuxième ligne c’est négatif, positif, négatif et pour la troisième ligne c’est positif, négatif, positif.

Rappelez-vous que si la formule vous donne une réponse négative, vous devez multiplier par moins un, ce qui revient à changer le signe. Tout d’abord, nous calculons le déterminant de la matrice deux par deux obtenue en éliminant la première ligne et la première colonne. Pour ce faire, nous multiplions l’élément du coin supérieur gauche par l’élément du coin inférieur droit puis nous y soustrayons le produit des éléments des coins supérieur droit et inférieur gauche.

Le premier élément de la matrice est zéro multiplié par zéro moins zéro multiplié par moins quatre, ça fait zéro. L’élément de la première ligne et de la deuxième colonne est moins deux fois zéro moins moins huit fois zéro, ce qui est à nouveau égal à zéro. L’élément de la première ligne et de la troisième colonne est moins deux fois moins quatre moins zéro fois moins huit, soit huit.

Répétons ce processus pour la deuxième ligne. Moins un multiplié par zéro moins moins un multiplié par moins quatre est égal à moins quatre. Lorsque nous remplaçons par ceci dans notre matrice de cofacteurs, nous devons néanmoins multiplier par moins un. Donc, notre réponse devient plus quatre. Un multiplié par zéro moins moins un multiplié par moins huit est égal à moins huit et un multiplié par moins quatre moins moins un multiplié par moins huit est égal à moins 12.

Lorsque nous mettons cela dans notre tableau, nous devons y appliquer un signe moins. Nous multiplions donc par moins un ce qui nous donne plus 12. Et enfin, pour notre troisième ligne nous avons moins un multiplié par zéro moins moins un multiplié par zéro est égal à zéro. Un multiplié par zéro moins moins un multiplié par moins deux est égal à moins deux. Ensuite, lorsque je mets cela dans le tableau, que je le multiplie par moins un, j’obtiens plus deux. Et enfin, un multiplié par zéro moins moins un multiplié par moins deux est égal à moins deux. Nous avons ainsi déterminé notre matrice de cofacteurs.

La deuxième étape consiste à obtenir la matrice adjointe. Nous le faisons en transposant les lignes et les colonnes de la matrice de cofacteurs, ce qui consiste en gros à effectuer une réflexion par rapport à la diagonale. Les éléments de la diagonale restent inchangés. Nous échangeons le zéro avec le quatre, le huit avec le zéro et le 12 avec le deux.

Notre dernière étape consiste à multiplier cette matrice par un sur le déterminant de la matrice initiale. Pour calculer le déterminant, nous pouvons utiliser cette formule. Nous allons multiplier chacun des éléments de la ligne supérieure par son cofacteur que nous avons calculé au début.

Un multiplié par zéro moins moins un multiplié par zéro plus moins un multiplié par huit est égal à moins huit. Nous allons maintenant multiplier comme indiqué la matrice complémentaire par un sur moins huit . Ce qui nous donne finalement l’inverse de 𝐴.

Nous avons dit que pour résoudre ce système de matrices, nous multiplions l’inverse de 𝐴 par 𝑏. 𝑥 vaut zéro multiplié par quatre plus moins un demi multiplié par huit plus zéro multiplié par zéro, ce qui est égal à moins quatre. 𝑦 est égal à zéro multiplié par quatre plus un multiplié par huit plus moins un quart multiplié par zéro ce qui est égal à huit. Et 𝑧 est égal à moins un multiplié par quatre plus moins trois demis multiplié par huit plus un quart multiplié par zéro, ce qui est égal à moins 16.

Ainsi, 𝑥 vaut quatre, 𝑦 huit et 𝑧 moins 16.

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