Transcription de la vidéo
En déterminant la somme d'une suite géométrique infinie, exprimez le nombre d’écriture décimale périodique 0,13 plus 0,732 sous forme d’une fraction.
Rappelons d'abord la formule permettant de déterminer la somme d'une suite géométrique infinie. C'est 𝑎 un sur un moins 𝑟. 𝑎 un représente le premier terme de la suite, et 𝑟 représente la raison. Et pour que cette somme soit convergente, il faut que la valeur absolue de 𝑟 soit strictement inférieure à un. On nous donne deux nombres à écriture décimale périodique et on nous demande de trouver leur somme sous forme de fraction en considérant la somme d'une suite géométrique infinie. On peut essayer d'exprimer chacun de ces nombres à écriture décimale périodique comme des suites géométriques infinies. Mais puisque la question ne mentionne qu'une seule suite géométrique infinie, considérons d'abord leur somme sous forme décimale.
Pour commencer, le nombre décimal périodique 0,13 est le décimal 0,13131313 ainsi de suite, à cause des points au-dessus du un et du trois. Ainsi, les deux chiffres se répètent. Pour le deuxième nombre, les points sont est seulement au-dessus du trois et du deux, et c'est donc le nombre 0,732323232 ainsi de suite. Si on additionne maintenant les deux nombres on obtient le nombre 0,86363636 ainsi de suite. Il s'agit donc d'un autre nombre à écriture décimale périodique : 0,863. Examinons maintenant comment on peut trouver le nombre à écriture décimale périodique comme somme d'une suite géométrique infinie.
Nous allons donc décomposer ce nombre décimal. On peut alors l'écrire comme suit : 0,8 plus 0,063 plus 0,00063 plus 0,0000063 ainsi de suite. Tous les termes autres que le 0,8 sont 100 fois plus petits que le terme précédent. Ils forment donc une suite géométrique dont la raison 𝑟 est un sur 100, soit 0,01. Le premier terme de cette suite est 0,063. On peut donc remplacer par les valeurs de 𝑎 un et de 𝑟, dont la valeur absolue est strictement inférieure à un, dans la formule de la somme. Cela donne 0,063 sur un moins 0,01. C'est 0,063 sur 0,99. Ensuite, on peut multiplier le numérateur et le dénominateur par 1000 pour qu'ils soient tous deux des entiers relatifs. Cela donne 63 sur 990. Nous pouvons ensuite diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par neuf pour obtenir la fraction simplifiée sept sur 110.
On a donc trouvé alors que la somme de cette suite géométrique infinie est sept sur 110. Mais afin de trouver ce nombre décimal complet sous forme de fraction, on doit inclure le 0,8 au début. Elle est égale à huit sur 10 sous forme de fraction. On a donc la somme de huit sur 10 et de sept sur 110. En multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction huit sur 10 par 11, on obtient 88 sur 110. Et nous ajoutons sept sur 110 à cette valeur, ce qui donne 95 sur 110. Ensuite, il suffit de diviser le numérateur et le dénominateur par cinq pour obtenir 19 sur 22.
Nous avons donc répondu à la question. En déterminant la somme d'une suite géométrique infinie, on a exprimé la somme des nombres à écriture décimale périodique 0,13 plus 0,732 sous forme de la fraction 19 sur 22.