Transcription de la vidéo
Une voiture d’une masse de 660 kg roule à vitesse constante sur une piste circulaire lisse, comme le montre la figure. La voiture suit une trajectoire au milieu de la piste, en maintenant une distance constante 𝑟 égale à 22 mètres du centre de sa trajectoire circulaire. L’angle de la piste au-dessus de l’horizontale, 𝜃 un, est égal à 28 degrés. Quel est l’angle 𝜃 deux par rapport à la verticale avec lequel 𝑅, la force correspondant à la réaction de la surface de la piste sur la voiture, agit ?
Sur notre schéma, nous voyons cet angle 𝜃 un, qui est une mesure de l’angle entre l’inclinaison de notre piste et un plan horizontal. Lorsqu’une voiture roule sur la piste, elle subit une force de réaction appelée 𝑅. Dans la première partie de notre question, nous voulons déterminer l’angle entre cette force de réaction et une droite verticale. Cet angle s’appelle 𝜃 deux. Pour commencer, faisons de l’espace à l’écran et imaginons que nous examinons une coupe transversale de ce plan incliné avec une voiture dessus. De ce point de vue, la voiture sortira de l’écran vers nous. La force de réaction normale 𝑅 qui agit sur la voiture est en effet normale ou perpendiculaire à cette surface inclinée. Et l’angle entre la force de réaction et la droite verticale est celui que nous voulons trouver, 𝜃 deux.
Si nous considérons le mouvement de notre voiture, nous savons que la voiture ne se déplace ni dans ce sens hors de la piste ni dans ce sens dans la piste. Cela signifie qu’il doit y avoir une force égale et opposée à la force de réaction 𝑅, et c’est le cas. C’est une composante de ce que nous pouvons appeler la force de pesanteur ou poids égale à la masse de la voiture multipliée par l’accélération due à la gravité. Si le poids total est représentée par cette flèche rose, alors ses composantes perpendiculaires sont représentées par ces deux flèches orange. Puisque ces deux flèches oranges sont perpendiculaires, nous savons qu’elles font un angle de 90 degrés. Par conséquent, ce triangle du poids et de ses composantes est un triangle rectangle, tout comme le plus grand triangle bleu que nous avons dessiné ici. En fait, ces deux triangles rectangles sont semblables.
De ce fait, cet angle droit ici est copié ici dans le plus petit triangle. Ensuite, cet angle intérieur dans le grand triangle, quel que soit cet angle, est copié ici dans le petit triangle, et l’angle 𝜃 un dans notre grand triangle est copié ici. Sachant que cet angle dans notre petit triangle est 𝜃 un, voyons comment cela se compare à 𝜃 deux. Si nous prolongeons la ligne suivant laquelle se trouve la flèche rose et que nous traçons également une ligne en pointillés suivant la plus grande composante du poids de la voiture, nous voyons que l’angle entre ces deux extensions de lignes, les deux lignes en pointillé roses, est 𝜃 deux. Nous avons vu dans notre petit triangle que cet angle est 𝜃 un. On peut écrire alors que 𝜃 un est égal à 𝜃 deux. Et rappelons de l’énoncé de notre problème que 𝜃 un est donné comme étant 28 degrés. Cela répond alors à notre question sur la valeur de 𝜃 deux. 𝜃 deux est égal à 28 degrés.
Voyons maintenant la deuxième partie de notre question.
Quelle est l’intensité de la force qui agit sur la voiture suivant 𝑟 ?
Nous pouvons trouver 𝑟 minuscule sur notre plus grand schéma. C’est la distance entre la voiture quand elle se trouve au milieu de cette piste inclinée et le centre de cette piste. Sur notre croquis, 𝑟 minuscule pointe dans ce sens, comme ceci. Maintenant, supposons que les deux seules forces agissant sur notre voiture à ce moment sont la force de réaction, 𝑅 majuscule et le poids. Nous appellerons cela la masse de la voiture multipliée par l’accélération due à la gravité. Nous pouvons voir que les sens de 𝑟 minuscule et du poids 𝑚 fois 𝑔 forment un angle de 90 degrés. Cela signifie qu’il n’y a aucune composante, aucune partie du poids qui agit dans le sens de 𝑟 minuscule. Ainsi, la seule force qui peut avoir une composante dans ce sens est la force de réaction 𝑅 majuscule.
Voyons maintenant un schéma rapproché de cette force de réaction en comparaison au sens de 𝑟 minuscule. Nous pouvons diviser la force de réaction en composantes verticale et horizontale. Voici la composante verticale de cette force, et voici la composante horizontale. Notez que la composante horizontale de 𝑅 majuscule est en effet dans le sens de 𝑟 minuscule. Quelle que soit cette norme, alors c’est la réponse à cette partie de notre question. Nous savons que l’angle entre notre force de réaction 𝑅 majuscule et une droite verticale est de 28 degrés. Puisque cette ligne verticale en pointillés est parallèle à cette composante verticale de la force 𝑅 majuscule, l’angle ici entre cette composante verticale de la force de réaction et la force de réaction elle-même est également de 28 degrés. Cet angle de 28 degrés que nous venons de découvrir fait partie d’un triangle rectangle.
Nous pouvons maintenant nous rappeler que, dans un triangle rectangle, où nous connaissons l’un des angles intérieurs, nous dirons qu’il s’appelle 𝜃, la longueur du côté du triangle opposé à 𝜃, ici appelée 𝑜, est égale à l’hypoténuse de ce triangle, appelée ℎ, fois le sinus de 𝜃. Nous pouvons utiliser cette propriété ici dans notre triangle rectangle. Si nous appelons cette longueur du côté de notre triangle rectangle 𝐹 indice 𝑟, pour l’intensité de la force qui agit suivant le sens de 𝑟 minuscule, d’après le résultat que nous avons rappelé ici, nous pouvons dire que 𝐹 indice 𝑟 est égal à 𝑅, la norme de la force de réaction multipliée par le sinus de 28 degrés. C’est un pas en avant vers notre réponse, mais nous ne savons pas encore quelle est la force de réaction 𝑅 majuscule.
Pour déterminer cela, nous devons revenir à notre schéma original de la situation. Nous avons dit que la force de réaction 𝑅 majuscule est égale et opposée à cette composante du poids. Cette composante que nous voyons fait également partie d’un triangle rectangle, où l’hypoténuse de ce triangle est égale à la masse de cette voiture multipliée par l’accélération due à la gravité. Pour trouver la valeur de notre flèche orange qui représente la plus grande des deux composantes du poids, nous pouvons noter que la longueur de cette flèche est équivalente à la longueur du côté 𝑎 ici dans notre triangle rectangle. Contrairement à la longueur du côté 𝑜, la longueur du côté 𝑎 est donnée par la relation ℎ fois le cosinus de 𝜃. Ici, nous pouvons noter que 𝑎 est le côté du triangle adjacent à l’angle 𝜃, tandis que 𝑜 est le côté opposé à 𝜃.
Maintenant, comment pouvons-nous utiliser ce résultat pour résoudre la longueur de notre plus grande composante du poids ? Dans ce triangle rectangle, l’hypoténuse n’est pas ℎ, mais plutôt 𝑚 fois 𝑔. Nous avons donc 𝑚 fois 𝑔. Et puis, cela est multiplié par ce que nous avons appelé ici le cosinus de l’angle 𝜃. Sur notre schéma, cet angle est 𝜃 un, que nous savons être 28 degrés. Donc, 𝑚 fois 𝑔 fois le cosinus de 28 degrés est égal à la longueur de la plus grande composante du poids. Et comme nous l’avons dit, c’est égal à la force de réaction 𝑅 majuscule. Nous pouvons maintenant prendre cette expression pour 𝑅 majuscule et l’insérer à la place de 𝑅 majuscule dans cette équation.
Nous voyons maintenant que l’intensité de la force qui agit sur la voiture suivant le sens de 𝑟 minuscule est 𝑚, la masse de la voiture, fois 𝑔, l’accélération due à la gravité, fois le cosinus de 28 degrés fois le sinuns de 28 degrés. Dans l’énoncé de notre problème, on nous dit que la masse de la voiture, nous l’avons appelé 𝑚, est de 660 kilogrammes. On peut alors rappeler que 𝑔, l’accélération due à la gravité, est de 9,8 mètres par seconde au carré. Nous avons alors que 𝐹 indice 𝑟 est égal à 660 kilogrammes fois 9,8 mètres par seconde au carré fois le cosinus de 28 degrés fois le sinus de 28 degrés.
En calculant cette valeur, nous obtenons une réponse d’environ 2681 newtons. Nous notons cependant que dans l’énoncé de notre problème, on nous donne des valeurs, telles que la masse de la voiture et la distance radiale 𝑟 minuscule, jusqu’à deux chiffres significatifs. Par conséquent, nous allons arrondir notre réponse finale à deux chiffres significatifs. Lorsque nous faisons cela, 2681 est arrondit à 2700 newtons. C’est l’intensité de la force qui agit sur la voiture dans le sens de 𝑟 minuscule.
Voyons maintenant la dernière partie de notre question.
Combien de temps faut-il à la voiture pour revenir au même point de sa trajectoire ?
Ici, on considère la voiture qui effectue une révolution autour du cercle. Nous voulons connaître le temps nécessaire pour le faire, et nous appellerons ce temps 𝑇 majuscule. Une façon de déterminer 𝑇 majuscule est de considérer la force centripète, la force qui agit sur la voiture vers le centre de sa trajectoire. Généralement, la force centripète est représentée par 𝐹 indice 𝑐. Et elle est égale à la masse d’un objet se déplaçant sur une trajectoire circulaire multipliée par le rayon de cette trajectoire multiplié par la vitesse angulaire de l’objet au carré. Dans notre cas, la force centripète qui agit sur notre voiture est égale à la force sur la voiture dans le sens de 𝑟 minuscule que nous avons résolue dans la deuxième partie. Rappelons que nous avons appelé cette force 𝐹 indice 𝑟 minuscule. Et nous avons trouvé que c’était égal à 2700 newtons.
Alors, la force sur la voiture dans le sens de 𝑟 minuscule est la force centripète sur la voiture. Et notre équation nous dit que 𝐹 indice 𝑐 est égal à la masse de la voiture multipliée par le rayon de la trajectoire circulaire qu’elle suit fois sa vitesse angulaire au carré. En général, la vitesse angulaire 𝜔 est égale à une variation de la position angulaire d’un objet, Δ𝜃, divisé par la durée nécessaire pour la variation de position, Δ𝑡. Dans cette partie de notre question, nous pensons à une variation de position angulaire correspondant à une révolution complète autour de cette trajectoire. En radians, une révolution est égale à deux 𝜋 radians, et le temps total nécessaire pour la faire est 𝑇 majuscule. Rappelons que c’est la valeur que nous voulons déterminer.
Pour nous aider, remplaçons 𝜔 dans cette équation par deux 𝜋 radians divisés par 𝑇 majuscule. Nous pouvons maintenant simplifier cette expression en supprimant 𝐹 indice 𝑐, la force centripète. Nous pouvons écrire simplement que 𝐹 indice 𝑟, la force dont nous avons calculé la norme, est égale à 𝑚 fois 𝑟 fois 𝜔 au carré. Si nous faisons de l’espace, puis multiplions les deux côtés de cette équation par 𝑇 majuscule au carré, alors 𝑇 majuscule s’annule du côté droit. Dans l’étape suivante, nous divisons les deux côtés de l’équation par 𝐹 indice 𝑟 minuscule. Cela fait que ce facteur s’annule à gauche.
Et puis, comme dernière étape pour obtenir une équation où 𝑇 majuscule est le sujet, nous prenons la racine carrée des deux côtés. La racine carrée de 𝑇 majuscule au carré est simplement 𝑇 majuscule. Ensuite, sur le côté droit de notre expression, nous avons la racine carrée de 𝑚 fois 𝑟 sur 𝐹 indice 𝑟 minuscule le tout multiplié par deux 𝜋 radians. Tout comme avec 𝑇 majuscule, lorsque nous mettons au carré puis prenons la racine carrée de ce facteur, nous nous retrouvons avec simplement le résultat entre parenthèses, deux 𝜋 radians.
Dans cette expression pour 𝑇 majuscule, nous connaissons la masse de la voiture 𝑚. Nous connaissons la force 𝐹 indice 𝑟 minuscule. Et on nous donne aussi la distance radiale 𝑟 minuscule. Dans l’énoncé de notre problème, c’est 22 mètres. Nous insérons maintenant toutes ces valeurs dans notre expression. En arrondissant notre réponse à deux chiffres significatifs, nous obtenons un résultat de 15 secondes. C’est la durée nécessaire à la voiture pour revenir à un même point de son trajet. Ceci est également connu comme la période de la voiture.
