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Vidéo de la leçon: Simplification d’expressions : regroupement des termes semblables Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment simplifier des expressions polynomiales en additionnant et en soustrayant des termes semblables.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment simplifier des expressions polynomiales en additionnant et en soustrayant des termes semblables. Nous allons voir des expressions qui contiennent des chiffres et des lettres et des combinaisons de lettres, et nous allons envisager l’effet des parenthèses sur certaines expressions.

Nous pouvons simplifier les expressions algébriques en regroupant ou en rassemblant des termes semblables. Par exemple, les nombres tous seuls, tous les 𝑥, tous les 𝑦, etc.

Donc simplifiez deux plus trois 𝑥 plus deux 𝑦 moins 𝑥 plus cinq 𝑦 plus quatre 𝑥 moins trois 𝑦 plus sept. En pensant d’abord aux termes purement numériques, nous avons deux et nous avons plus sept. Puis, en observant les termes avec un 𝑥, nous avons plus trois 𝑥, moins 𝑥, plus quatre 𝑥. Et cela nous laisse avec nos termes avec un 𝑦 ; plus deux 𝑦, plus cinq 𝑦, moins trois 𝑦. Certaines personnes trouvent utile d’utiliser soit un système de codes de couleurs, soit un système de symboles différents pour mémoriser quels termes semblables ils ont utilisé jusqu’à présent, et ceux ils n’ont pas utilisé.

Ainsi, pour les termes purement numériques d’abord, deux plus sept donnent neuf. Nous avons maintenant nos termes 𝑥. Nous avons trois 𝑥 moins 𝑥, soit deux 𝑥, plus quatre 𝑥, ça fait six 𝑥. Ensuite, les termes 𝑦, nous avons deux 𝑦 plus cinq 𝑦 c’est sept 𝑦, moins trois 𝑦, c’est plus quatre 𝑦. Et la plupart des gens ont tendance à faire passer les termes en lettres en premier et les termes purement numériques à la fin de cette expression. On obtient donc six 𝑥 plus quatre 𝑦 plus neuf.

Mais parfois, les termes impliquent des termes plus compliqués tels que 𝑥𝑦 ou 𝑦 au cube. Et nous devons être capables d’identifier les termes semblables dans ces expressions aussi.

Par exemple, simplifiez trois 𝑥 plus quatre 𝑥 au carré moins deux 𝑥𝑦 plus sept 𝑦 au carré moins deux 𝑥 plus cinq 𝑦𝑥 moins 𝑦 au cube moins deux 𝑥 au carré.

Dans cette expression, il y a deux termes, trois 𝑥 et moins deux 𝑥, qui sont purement des nombres multipliés par 𝑥. Mettons donc ces termes en premier. Ensuite, si nous cherchons les termes avec 𝑥 au carré, nous avons plus quatre 𝑥 au carré et moins deux 𝑥 au carré. Maintenant, cherchons les termes avec 𝑥𝑦. Eh bien, il y a moins deux 𝑥𝑦. Mais il y a aussi plus cinq 𝑦𝑥. Et comme la multiplication est commutative, cela signifie que 𝑦𝑥 est identique à 𝑥𝑦. Je vais donc écrire cinq 𝑦𝑥 comme cinq 𝑥𝑦.

Ensuite, nous avons 𝑦 au carré. Il n’y en a qu’un, sept 𝑦 au carré. Et nous avons traité les autres, à part le 𝑦 au cube. Donc, nous avons juste moins 𝑦 au cube. Les termes semblables sont donc des termes qui sont de simples multiples de la même lettre, ou la même lettre à la même puissance ou exposant, ou la même combinaison de lettres multipliées ensemble, soit 𝑥𝑦, 𝑦𝑥. Et trois 𝑥 moins deux 𝑥 donnent un 𝑥, ou juste 𝑥. Quatre 𝑥 au carré moins deux 𝑥 au carré nous donne deux 𝑥 au carré.

Maintenant, si nous commençons avec moins deux 𝑥𝑦 et que nous ajoutons ensuite cinq 𝑥𝑦, nous arrivons à plus trois 𝑥𝑦. Ensuite, nous avons un seul sept 𝑦 au carré et un seul moins 𝑦 au cube. Aucun de ces termes n’est semblable à l’autre, c’est donc notre réponse. C’est donc presque comme si 𝑥 était traité comme une lettre différente de 𝑥 au carré. Et comme une lettre différente de 𝑥𝑦 et 𝑦 au carré et 𝑦 au cube, et ainsi de suite.

Regardons cela visuellement et voyons pourquoi nous avons défini le terme « semblables » de cette manière particulière. Imaginons que nous ayons des rectangles de dimensions un par 𝑥, et des rectangles un par 𝑦. Ainsi, un rectangle un par 𝑥, un fois 𝑥, a une aire de 𝑥. Nous les appellerons donc 𝑥. Et un rectangle un par 𝑦, un fois 𝑦, a une aire de 𝑦. Ce sont donc des rectangles 𝑦.

J’ai donc trois des rectangles 𝑥 et deux des rectangles 𝑦. On peut donc écrire cela comme trois 𝑥 plus deux 𝑦. Maintenant, les rectangles 𝑥 ont une taille différente des rectangles 𝑦. On ne peut donc pas vraiment les combiner. C’est juste une affirmation du fait que nous avons trois du type 𝑥 et deux du type 𝑦.

Ajoutons maintenant un rectangle 𝑥 par 𝑦. L’aire de ce rectangle serait donc 𝑥 fois 𝑦, et nous l’appellerons donc 𝑥𝑦. Nous avons maintenant trois des rectangles 𝑥, deux des rectangles 𝑦 et un des rectangles 𝑥𝑦. Nous devons donc écrire cela comme ceci. Nous ne pouvons pas simplifier davantage. Il s’agit simplement d’un énoncé de nos trois différents types de rectangles, 𝑥, 𝑦 et 𝑥𝑦. Et cela nous dit combien nous en avons de chacun.

Nous avons maintenant ajouté au mélange trois rectangles 𝑦 par 𝑦, des rectangles 𝑦 au carré, et un rectangle 𝑥 par 𝑥, donc un rectangle 𝑥 au carré. Nous avons donc maintenant trois 𝑥 plus deux 𝑦 plus 𝑥𝑦 plus un 𝑥 au carré et trois des rectangles 𝑦 au carré. Nous espérons donc pouvoir constater que 𝑥 est très différent de 𝑥 au carré. Et 𝑦 est tout à fait différent de 𝑦 au carré. Et un 𝑥𝑦 est quelque chose de complètement différent encore. C’est pourquoi nous devons les exprimer séparément dans notre expression algébrique ici.

Voyons maintenant quelques expressions qui impliquent des parenthèses.

Par exemple, simplifiez cinq fois 𝑥 plus deux plus sept fois 𝑥 plus deux. Et cela signifie vraiment que nous avons cinq fois 𝑥 plus deux. Imaginez un rectangle de la taille 𝑥 plus deux. Et nous avons sept fois 𝑥 plus deux. Nous avons donc cinq de ces 𝑥 plus deux rectangles, et nous avons sept autres de ces 𝑥 plus deux rectangles. Donc 𝑥 plus deux entre parenthèses sont des termes semblables. Et cinq de quelque chose plus sept autres de quelque chose font 12 de quelque chose. Nous avons donc 12 fois 𝑥 plus deux.

Maintenant, nous pouvons utiliser la distributivité de la multiplication pour dire que cela signifie 12 fois 𝑥 plus 12 fois deux. Et nous pouvons écrire cela algébriquement comme 12𝑥, qui est l’abréviation de 12 fois 𝑥. Et 12 fois deux est 24, donc 12𝑥 plus 24.

Nous aurions pu appliquer la distributivité plus tôt dans cette question. Cela aurait donc donné cinq fois 𝑥 et cinq fois deux et sept fois 𝑥 et sept fois deux. Cela fait donc cinq fois 𝑥 plus 10 plus sept fois 𝑥 plus 14, ce qui signifie que nous pouvons maintenant rassembler les termes semblables. Cinq 𝑥 et sept 𝑥 sont des termes semblables. Et puis les nombres seuls, 10 plus 14, ce qui nous donne 12𝑥 plus 24. Nous obtenons donc la même réponse.

Mais en remarquant que nous avions ce terme semblable ici, 𝑥 plus deux. Cela signifie que nous n’avions qu’à distribuer un seulement, au lieu de deux ici. Cette méthode a donc nécessité un peu plus de travail. Nous avons fait un peu moins de travail en mettant ce terme semblable entre parenthèses.

Certaines expressions contiennent maintenant des parenthèses qui, si nous les examinons attentivement, peuvent être supprimées.

Par exemple, simplifiez cinq plus parenthèses 11𝑥 plus 12, fermez les parenthèses. Maintenant, comme cette expression utilise l’addition à deux endroits, et que l’addition est associative, nous obtiendrons le même résultat si nous additionnons le résultat de 11𝑥 plus 12 à cinq comme si nous additionnons 12 au résultat de cinq plus 11𝑥. Les parenthèses nous disent donc de faire le calcul dans un sens. Mais cela ne fait aucune différence si nous faisons le calcul dans l’autre sens. Elles sont simplement redondantes. Nous pouvons donc les effacer.

Et maintenant, nous avons deux termes numériques semblables. Et cinq et 12 nous donnent 17. Notre réponse est donc 17 plus 11𝑥, ou comme certaines personnes préfèrent l’écrire avec le terme contenant les lettres d’abord, 11𝑥 plus 17.

Maintenant, une dernière chose avant de partir. Nous avons traité les termes quantitatifs positifs et négatifs comme trois 𝑥, moins cinq 𝑦, moins 12𝑦 au carré, etc. Mais nous pouvons également traiter des quantités fractionnaires de termes de la même manière. Par exemple, un demi 𝑥 plus encore un demi 𝑥, eh bien deux demis de la même chose nous donnent un entier de la même chose. Ainsi, un demi 𝑥 plus encore un demi 𝑥 donne un 𝑥, ou simplement 𝑥, comme nous l’écrivons maintenant plus normalement.

Ainsi, par exemple, si nous devons simplifier moins un tiers 𝑥 plus deux tiers 𝑥 plus un quart 𝑥 plus deux tiers 𝑥 plus un demi, nous pouvons identifier nos termes semblables. Nous allons donc regrouper tous les termes de 𝑥. Et nous regrouperons également les termes numériques. Nous avons donc moins un tiers 𝑥 plus deux tiers 𝑥 plus encore deux tiers 𝑥 plus un quart plus un demi.

Pensons donc à ces termes 𝑥. Nous partons de moins un tiers 𝑥. Et nous ajoutons deux tiers 𝑥. Donc, un tiers, deux tiers 𝑥 nous amène ici. Et puis nous ajoutons deux tiers 𝑥. Donc un tiers, deux tiers 𝑥 va nous amener ici, à un. Donc, c’est un 𝑥, ou juste 𝑥. Et puis nous avons un quart plus un demi. Et bien, un demi c’est deux-quarts. Donc nous avons un quart plus deux quarts, ce qui fait trois quarts. Donc les mêmes règles s’appliquent. Même si vous avez des fractions, vous pouvez toujours rassembler ou combiner des termes semblables dans des expressions algébriques pour les simplifier.

Enfin, pour résumer ce que nous avons appris, nous pouvons simplifier les expressions algébriques en regroupant ou en rassemblant des termes semblables. Par exemple, trois 𝑥 moins 12𝑦 plus sept 𝑥 plus deux 𝑦. Nous pouvons traiter les termes avec 𝑥 comme des termes semblables et les termes avec 𝑦 comme des termes semblables. Et trois 𝑥 plus sept 𝑥 nous donnent 10𝑥, tandis que moins 12𝑦 plus deux 𝑦 nous donne moins 10𝑦.

Mais n’oubliez pas que les termes ayant de différents exposants ou puissance ne sont pas des termes semblables. Par exemple, dans cinq 𝑥 plus sept 𝑥 au carré moins deux 𝑥 moins trois 𝑥 au carré, cinq 𝑥 et moins deux 𝑥 sont des termes semblables et sept 𝑥 au carré moins trois 𝑥 au carré des termes semblables. Ainsi, lorsque je les regroupe, cinq 𝑥 moins deux 𝑥 nous donnent trois 𝑥. Et sept 𝑥 au carré moins trois 𝑥 au carré nous donnent quatre 𝑥 au carré. C’est comme si 𝑥 au carré était une lettre différente de 𝑥. Pensez à ces rectangles de taille différente que nous vous avons montrés plus tôt lorsque nous avons eu la représentation visuelle. Nous rassemblons tous les rectangles de taille 𝑥 et nous rassemblons tous les rectangles de taille 𝑥 au carré.

Et enfin, il y a parfois des parenthèses entières contenant des termes semblables. Par exemple, trois fois 𝑥 moins deux plus cinq fois 𝑥 moins deux moins deux fois 𝑥 moins deux. Ces termes sont tous des multiples de 𝑥 moins deux. Nous en avons donc trois et encore cinq. Mais nous en retirons deux, ce qui nous donne six de ces 𝑥 moins deux. Cela signifie que je peux appliquer la distributivité une seule fois à la fin de la question pour obtenir six 𝑥 moins 12. Plutôt que trois fois tout à l’heure à la question et de devoir ensuite rassembler des beaucoup de termes. Ainsi, parfois, repérer ce fait peut nous nous éviter un surplus de travail.

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