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Vidéo question :: Trouver la longueur d’une corde et le rayon d’un cercle Mathématiques • Troisième préparatoire

La figure montre un cercle de centre 𝑀. Sachant que 𝐸𝐵 = 42, 𝐸𝐶 = 21 et 𝐸𝐴 = 42, calculez la longueur du segment 𝐸𝐷 ainsi que le rayon du cercle.

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Transcription de la vidéo

La figure montre un cercle de centre 𝑀. Sachant que 𝐸𝐵 est égal à 42, 𝐸𝐶 est égal à 21 et 𝐸𝐴 est égal à 42, calculez la longueur du segment 𝐸𝐷 ainsi que le rayon du cercle.

A partir des informations fournies, nous pouvons déduire que la corde 𝐵𝐴 est divisée en deux parties égales, car 𝐸𝐵 et 𝐸𝐴 sont égales à 42. Il est donc pertinent de rappeler la première partie du théorème de la médiatrice d’une corde. Ce théorème nous dit que si une droite passant par le centre d’un cercle passe par le milieu d’une corde du même cercle, la droite doit être perpendiculaire à la corde. Par conséquent, le segment 𝐶𝐷, qui passe par le centre du cercle, est en fait la médiatrice de la corde 𝐵𝐴.

Puisque les cordes 𝐵𝐴 et 𝐶𝐷 sont perpendiculaires, nous savons qu’elles forment quatre angles droits, dont l’angle 𝐴𝐸𝑀. Pour répondre à cette question, nous devons trouver la longueur du segment 𝐸𝐷 et le rayon. Nous notons que le segment 𝑀𝐷 est un rayon du cercle.

La seule autre information que nous n’avons pas encore considérée est la longueur du segment 𝐸𝐶. On nous dit que 𝐸𝐶 est égal à 21. Nous voyons sur la figure que le segment 𝑀𝐶 est aussi un rayon du cercle. Et la longueur de 𝑀𝐶 est égale à la somme de 𝑀𝐸 plus 𝐸𝐶. Puisque nous ne connaissons pas la longueur de 𝑀𝐸, nous laisserons 𝑀𝐸 égal 𝑥. Ensuite, nous pouvons dire que 𝑀𝐶 est égal à 𝑥 plus 21. Puisque nous savons que tous les rayons d’un cercle ont la même longueur, la longueur de tout rayon de notre cercle peut être représentée par l’expression 𝑥 plus 21. Par conséquent, le rayon 𝑀𝐷 est égal à 𝑥 plus 21.

Nous reconnaissons également le segment 𝑀𝐴 comme un rayon. Donc 𝑀𝐴 est égal à 𝑥 plus 21. À ce stade, nous avons une expression pour chaque côté d’un triangle rectangle, en particulier le triangle 𝐴𝐸𝑀, que nous avons surlignée en vert. La longueur du côté 𝑀𝐸 est égale à 𝑥, 𝐸𝐴 est égal à 42 et 𝑀𝐴 est égal à 𝑥 plus 21.

À partir de là, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore, qui stipule que la somme des carrés des côtés d’un triangle rectangle est égale au carré de l’hypoténuse. En remplaçant les longueurs des côtés par leurs e𝑥pressions, nous avons 𝑥 au carré plus 42 au carré égale 𝑥 plus 21 au carré. Nous allons donc résoudre cette équation pour trouver 𝑥. Une fois que nous connaissons la valeur de 𝑥, nous pourrons trouver la longueur du segment 𝐸𝐷 et le rayon. Nous trouvons que 42 au carré vaut 1764 et 𝑥 plus 21 au carré égale 𝑥 au carré plus 42𝑥 plus 441.

Maintenant, il est nécessaire de réécrire l’équation du second degré sous formes standards afin qu’elle puisse être résolue. Cependant, après avoir soustrait 𝑥 au carré de chaque côté de l’équation, nous réalisons que ce n’est plus une équation du second degré. Ce qui reste est l’équation 1764 égal 42𝑥 plus 441. En résolvant cette équation, nous constatons que 𝑥 est égal à 31,5.

Nous sommes maintenant prêts à trouver la longueur exacte du rayon qui est représentée par l’expression 𝑥 plus 21. Nous remplaçons alors 𝑥 par 31,5. Et nous trouvons que le rayon est égal à 52,5. Enfin, pour trouver la longueur du segment 𝐸𝐷, nous utiliserons le fait que 𝐸𝐷 est égal à 𝑀𝐸 plus 𝑀𝐷, ce qui est confirmé par le diagramme. 𝑀𝐸 est égal à 𝑥. Et puisque 𝑀𝐷 est un rayon, il est égal à 52,5. Après avoir remplacé 𝑥 par 31,5 et ajouté 52,5, nous trouvons que 𝐸𝐷 est égal à 84.

En conclusion, la longueur du segment 𝐸𝐷 est de 84 et le rayon est de 52,5.

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