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Vidéo de la leçon: Quadrilatères inscriptibles

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les propriétés des quadrilatères inscriptibles pour calculer les mesures d’angles inconnus et déterminer si un quadrilatère est inscriptible ou non.

11:55

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous utiliserons les propriétés des quadrilatères inscriptibles pour trouver les angles manquants et également pour déterminer si un quadrilatère est inscriptible ou non.

Nous commencerons par définir ce que nous entendons par quadrilatère inscriptible. Un quadrilatère est une figure à quatre côtés. Et un quadrilatère inscriptible est un quadrilatère dont les sommets se situent tous sur la circonférence d’un même cercle. Dans notre figure, les sommets 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 se situent sur la circonférence de ce cercle. Les mesures des quatre angles à l’intérieur de tout quadrilatère ont une somme de 360 degrés. Cela signifie que l’angle 𝐴 plus l’angle 𝐵 plus l’angle 𝐶 plus l’angle 𝐷 est égal à 360 degrés.

Les mesures des angles opposés dans un quadrilatère inscriptible ont une somme de 180 degrés. Dans notre figure, l’angle 𝐴 plus l’angle 𝐶 est égal à 180 degrés, et l’angle 𝐵 plus l’angle 𝐷 est également égal à 180 degrés. Comme 180 plus 180 est égal à 360, cela correspond à la première propriété.

Nous allons maintenant examiner quelques questions où nous déterminerons si un quadrilatère est inscriptible ou non.

𝐴𝐵𝐶𝐷 est- il un quadrilatère inscriptible ?

Dans tout quadrilatère inscriptible, nous savons que les mesures des angles opposés ont une somme de 180 degrés. Comme les angles 𝐴 et 𝐶 sont opposés, cela signifierait que l’angle 𝐴 plus l’angle 𝐶 doit être égal à 180 degrés. 79 degrés plus 62 degrés est égal à 141 degrés. Cela signifie que l’angle 𝐴 plus l’angle 𝐶 n’est pas égal à 180 degrés. Nous pouvons donc conclure que la réponse est non, 𝐴𝐵𝐶𝐷 n’est pas un quadrilatère inscriptible, car la somme des mesures des angles 𝐴 et 𝐶 n’est pas de 180 degrés.

Nous allons maintenant examiner une deuxième question d’un type similaire.

𝐴𝐵𝐶𝐷 est- il un quadrilatère inscriptible ?

Nous savons que les mesures des angles opposés dans un quadrilatère inscriptible ont une somme de 180 degrés. Dans cette question, nous considérerons les angles opposés 𝐵 et 𝐷. Il s’ensuit que si ces deux angles ont une somme de 180 degrés, alors les angles 𝐴 et 𝐶 doivent également avoir une somme de 180 degrés, parce que les quatre angles à l’intérieur d’un quadrilatère ont une somme de 360 degrés.

Nous pouvons commencer cette question en rappelant que les mesures des trois angles à l’intérieur d’un triangle quelconque ont une somme de 180 degrés. Cela signifie que l’angle 𝐵 plus 48 degrés plus 29 degrés doit être égal à 180 degrés. 48 plus 29 est égal à 77. En soustrayant 77 degrés aux deux membres de cette équation, nous constatons que l’angle 𝐵 est égal à 103 degrés. Nous pouvons maintenant revenir à notre affirmation sur un quadrilatère inscriptible. Nous savons que l’angle 𝐵 est égal à 103 degrés et que l’angle 𝐷 est égal à 77 degrés. Les mesures de ces deux angles ont en effet une somme de 180 degrés.

Comme mentionné précédemment, si l’angle 𝐵 plus l’angle 𝐷 nous donne une somme de 180 degrés, alors l’angle 𝐴 plus l’angle 𝐶 doit également avoir une somme de 180 degrés. En effet, les mesures des quatre angles à l’intérieur du quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 doivent avoir une somme de 360 degrés. On peut donc conclure que oui, 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un quadrilatère inscriptible.

Nos prochaines questions portent sur le calcul des angles manquants dans les quadrilatères inscriptibles.

Déterminez la mesure de l’angle 𝐵𝐶𝐷.

L’angle 𝐵𝐶𝐷 est indiqué sur la figure. Les quatre sommets de notre quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 se situent sur la circonférence du cercle. Cela signifie que notre quadrilatère est inscriptible. Nous savons que les mesures des angles opposés dans un quadrilatère inscriptible ont une somme de 180 degrés. Cela signifie que la somme des mesures de l’angle 𝐴 et de l’angle 𝐶 est de 180 degrés. C’est également vrai pour les angles 𝐵 et 𝐷.

Nous savons que l’angle 𝐴 est égal à 78 degrés. En soustrayant 78 degrés aux deux membres de cette équation, nous constatons que l’angle 𝐶 est égal à 180 degrés moins 78 degrés. Ce calcul nous donne 102 degrés. La mesure de l’angle 𝐵𝐶𝐷 dans le quadrilatère est de 102 degrés.

Nous allons maintenant examiner une question un peu plus compliquée.

Étant donné que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un quadrilatère inscriptible, trouvez la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶.

L’angle 𝐵𝐴𝐶 est indiqué sur la figure par 𝑥. Les marques sur les droites 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶 indiquent que ces deux côtés sont de longueur égale. Cela signifie que le triangle 𝐴𝐵𝐶 est isocèle. Un triangle isocèle a deux angles de même mesure. Dans ce cas, la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶 est égale à celle de l’angle 𝐵𝐶𝐴. Les mesures des angles opposés dans un quadrilatère inscriptible ont une somme de 180 degrés. Si nous posons l’angle 𝐴𝐵𝐶 égal à la lettre 𝑦, nous savons que cet angle plus l’angle 𝐴𝐷𝐶 doit avoir une somme de 180 degrés. Donc, 𝑦 plus 61 degrés est égal à 180 degrés. La soustraction de 61 degrés aux deux membres de cette équation nous donne 𝑦 égale 119 degrés.

Nous savons que les angles d’un triangle ont une somme de 180 degrés. Cela signifie que 𝑥 plus 𝑥 plus 119 degrés doit être égal à 180 degrés. La simplification du membre gauche de l’équation nous donne deux 𝑥 plus 119 degrés. Lorsque nous soustrayons cela aux deux membres de la nouvelle équation, nous obtenons deux 𝑥 égale 61 degrés. Enfin, diviser les deux membres de l’équation par deux nous donne 𝑥 égale 30,5 degrés. On peut donc conclure que la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶 est de 30,5 degrés.

Nous allons maintenant regarder un quadrilatère inscriptible où il y a deux inconnues que nous devons calculer.

Étant donné que la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐷 est 𝑥 plus 34 degrés, trouvez les valeurs de 𝑥 et 𝑦.

On nous dit dans la l’énoncé que l’angle 𝐵𝐴𝐷 est égal à 𝑥 plus 34 degrés. On remarque également sur la figure que le triangle 𝐵𝐴𝐸 est isocèle, car les longueurs 𝐵𝐴 et 𝐵𝐸 sont égales. Cela signifie que l’angle 𝐵𝐴𝐸 est égal à l’angle 𝐵𝐸𝐴, qui est égal à 51 degrés. Nous savons que les angles d’un triangle ont une somme de 180 degrés. Cela signifie que l’angle 𝐴𝐵𝐸 plus 51 degrés plus 51 degrés est égal à 180 degrés. 51 plus 51 est égal à 102. Et la soustraction de cette valeur à 180 nous donne un angle 𝐴𝐵𝐸 de 78 degrés.

Nous savons également que les angles sur une droite ont une somme de 180 degrés. Cela signifie que nous pouvons calculer l’angle 𝐴𝐵𝐶 à l’intérieur du quadrilatère inscriptible en soustrayant 78 degrés à 180 degrés. L’angle 𝐴𝐵𝐶 est égal à 102 degrés. Le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 est inscriptible car les quatre sommets se situent sur la circonférence d’un cercle. Nous savons que les mesures des angles opposés dans tout quadrilatère inscriptible ont une somme de 180 degrés. Cela signifie que 𝑥 plus 102 est égal à 180 et que 𝑦 plus 𝑥 plus 34 est également égal à 180.

Comme nous venons de le mentionner en regardant les angles aux sommets 𝐵 et 𝐷, nous avons l’équation 𝑥 plus 102 degrés égale 180 degrés. Soustraire 102 aux deux membres de cette équation nous donne 𝑥 égale 78 degrés. Les mesures des angles aux sommets 𝐴 et 𝐶 auront également une somme de 180 degrés. 78 plus 34 est égal à 112. Soustraire cette valeur aux deux membres de l’équation nous donne 𝑦 égale 68 degrés. Les valeurs de 𝑥 et 𝑦 sont respectivement égales à 78 degrés et 68 degrés. Nous pourrions vérifier cela en ajoutant les quatre angles à l’intérieur du quadrilatère, qui doivent avoir une somme de 360 degrés.

Nous allons maintenant citer quelques points clés de cette vidéo. Un quadrilatère inscriptible a les quatre sommets sur la circonférence d’un cercle. Les mesures des angles opposés dans un quadrilatère inscriptible ont une somme de 180 degrés. C’est l’un de nos théorèmes clés sur les cercles qui sera testé lors des examens. Ce fait peut être utilisé avec d’autres propriétés sur les angles que nous connaissons, comme on le voit dans cette vidéo. Celles-ci peuvent inclure des angles dans un triangle et des angles sur une droite. Les mesures de ces deux angles ont une somme de 180 degrés. La propriété peut être repérée sur la figure comme indiqué, où l’angle 𝐴 plus l’angle 𝐶 est égal à 180 degrés, et l’angle 𝐵 plus l’angle 𝐷 est également égal à 180 degrés. La somme des mesures des quatre angles dans un quadrilatère est égale à 360 degrés.

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