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Vidéo question :: Dériver des fonctions trigonométriques en utilisant de la règle de dérivation en chaîne Mathématiques • Deuxième secondaire

On pose 𝑦=sin (8𝑥²−4). Déterminez d𝑦/d𝑥.

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Transcription de la vidéo

On pose 𝑦 égale sinus de huit 𝑥 au carré moins quatre. Déterminez d𝑦 sur d𝑥.

On peut voir que la fonction donnée dans l’énoncé est une fonction d’une fonction. Huit 𝑥 au carré moins quatre est la fonction interne et le sinus est la fonction externe. Et pour dériver une fonction d’une fonction, on peut utiliser la règle de dérivation en chaîne. D’après la règle de dérivation en chaîne, si 𝑦 égale 𝑓 de 𝑢 et 𝑢 égale 𝑔 de 𝑥, alors d𝑦 sur d𝑥 égale d𝑦 sur d𝑢 multiplié par d𝑢 sur d𝑥. Dans notre cas, 𝑢 est égal à huit 𝑥 au carré moins quatre. Et 𝑦 est égal au sinus de 𝑢.

Dans la formule de dérivation en chaîne, on a besoin de connaître d𝑢 sur d𝑥 et d𝑦 sur d𝑢. Commençons par dériver 𝑢 par rapport à 𝑥. Pour cela, on utilise la règle de dérivation d’une puissance. On obtient d𝑢 sur d𝑥 égale 16𝑥. On a d’abord multiplié le coefficient, huit, par la puissance, deux, ce qui nous a donné 16. Puis on a diminué de un la puissance. Et quatre est une constante, donc sa dérivée est égale à zéro.

Déterminons à présent d𝑦 sur d𝑢. On rappelle que la dérivée de sinus 𝑥 est égale à cosinus 𝑥. Donc d𝑦 sur d𝑢 est égal à cosinus 𝑢. On peut maintenant appliquer notre formule de la dérivation en chaîne. On a d𝑦 sur d𝑥 égale d𝑦 sur d𝑢, c’est-à-dire cosinus 𝑢, multiplié par d𝑢 sur d𝑥, c’est-à-dire 16𝑥. Rappelons à présent que 𝑢 est égal à huit 𝑥 au carré moins quatre. Donc on remplace 𝑢 dans notre expression pour obtenir que d𝑦 sur d𝑥 est égal à cosinus de huit 𝑥 au carré moins quatre multiplié par 16𝑥, qu’on écrit généralement dans l’ordre inverse, c’est-à-dire 16𝑥 fois cosinus de huit 𝑥 au carré moins quatre. Et c’est notre réponse finale.

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