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Vidéo question :: Déterminer la solution d’une fonction exponentielle Mathématiques • Deuxième secondaire

Utilisez le graphique suivant pour déterminer l’ensemble solution de l’équation 2 ^ (𝑥 - 3) = 𝑥 - 2.

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Transcription de la vidéo

Utilisez le graphique suivant pour déterminer l’ensemble solution de l’équation deux à la puissance 𝑥 moins trois égale 𝑥 moins deux.

Lorsque nous aurons une question comme celle-ci impliquant une équation et plusieurs fonctions, il y aura une relation entre les équations et les fonctions. Il est très fréquent que le membre gauche de l’équation soit lié à une fonction. Appelons cette fonction 𝑓 un de 𝑥. Le membre droit de l’équation est généralement une autre fonction. Appelons cela 𝑓 deux de 𝑥. Les expressions des deux membres de l’équation seront soit les fonctions exactes, soit quelque chose de très proche. Le membre gauche de cette équation a un exposant. Donc s’il y avait la fonction 𝑓 un de 𝑥 égale deux à la puissance 𝑥 moins trois, cela produirait une fonction exponentielle.

La droite bleue sur cette courbe a la forme d’une fonction exponentielle. Nous devrons donc vérifier si cette fonction pourrait être écrite comme 𝑓 un de 𝑥 égale deux à la puissance 𝑥 moins trois. Nous devrons également vérifier si cette droite verte peut être écrite comme la fonction 𝑓 deux de 𝑥 égale 𝑥 moins deux. Nous pouvons d’abord examiner cette droite verte. Rappelons que nous pouvons représenter graphiquement la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 de cette façon. C’est une droite avec un coefficient directeur égal à un et une ordonnée à l’origine de zéro.

En utilisant cette droite pour tracer la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 moins deux, nous effectuons une translation verticale de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 de deux unités vers le bas. La fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 moins deux est parallèle, elle a donc le même coefficient directeur de un. Mais, l’ordonnée à l’origine 𝑦 sera moins deux. Alors, nous avons indiqué que la droite verte est bien une fonction, que nous pourrions désigner par 𝑓 deux de 𝑥 est égal à 𝑥 moins deux.

Nous pouvons vérifier la deuxième fonction en insérant certaines coordonnées sur la courbe. Le moyen le plus simple de le faire est de trouver quelques coordonnées avec des valeurs entières. Par exemple, nous pourrions observer que les coordonnées cinq, quatre appartiennent à la courbe. Si nous remplaçons 𝑥 égale cinq dans la fonction, voyons si nous obtenons une valeur de sortie ou une valeur de 𝑓 de 𝑥 égale à quatre. Ainsi lorsque 𝑥 est égal à cinq, nous avons 𝑓 un de 𝑥 égal à deux à la puissance cinq moins trois. Cela nous donne deux au carré. Et bien sûr, deux au carré est égal à quatre. Cela signifie que la fonction prend une valeur d’entrée de cinq et produit une valeur de sortie de quatre.

Nous pouvons alors vérifier un autre point. Le point de coordonnées quatre, deux se trouve également sur la courbe. Ainsi lorsque nous remplaçons 𝑥 égale quatre dans la fonction, nous obtenons 𝑓 un de 𝑥 égale deux à la puissance quatre moins trois. Simplifier cela donne deux à la puissance un, qui est bien sûr simplement deux. Donc, encore une fois, une valeur d’entrée 𝑥 dans la fonction produit une valeur de sortie de deux. Ainsi nous pouvons être convaincus que cette fonction peut être représentée par 𝑓 un de 𝑥 égale deux à la puissance 𝑥 moins trois. Cette fonction est également une translation horizontale de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale deux à la puissance 𝑥.

Maintenant que nous savons que nous avons ces deux fonctions, nous pouvons résoudre l’équation donnée. Pour trouver l’ensemble solution de cette équation, nous devons commencer par trouver tous les points communs pour les deux fonctions. Ces points sont les points d’intersection. Nous pouvons voir qu’il y a deux points d’intersection, ayant pour coordonnées trois, un et quatre, deux. L’ensemble solution sera les abscisses 𝑥 de chacune de ces coordonnées. Par conséquent, nous pouvons donner la réponse exprimée comme suit la solution à l’équation deux à la puissance 𝑥 moins trois égale 𝑥 moins deux est l’ensemble contenant trois et quatre.

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