Vidéo : Solution de division d’un cercle

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Solution de division d’un cercle

08:52

Transcription de vidéo

Dans ma dernière vidéo, j’ai posé la question suivante : si vous prenez 𝑛 points sur un cercle puis reliez chaque paire de points par une droite, à combien de sections ces droites coupent-elles le cercle ?

Ce qui était étrange, c’est que lorsque 𝑛 est strictement inférieur à six ou lorsque 𝑛 est 10, pour une certaine raison, la réponse est toujours une puissance de deux. Mais pour toutes les autres valeurs de 𝑛, la réponse n’a rien à voir avec les puissances de deux.

Ce que j’aime dans ce problème, c’est qu’il regroupe de nombreuses notions disparates : fonctions de dénombrement, graphes, l’une des équations les plus connues d’Euler et le triangle de Pascal.

Vous vous demandez peut-être si le changement de l’emplacement des points change le nombre de sections. C’est en fait possible ! Par exemple, observez la disparition de la petite région du milieu si vous faites un ajustement pour que les trois droites passent par le même point.

Mais si nous ajoutons la restriction, alors trois droites ne peuvent pas passer par le même point. Le nombre de sections dépend uniquement du nombre de points et non de leur emplacement, comme vous allez le voir.

Je pense qu’il est juste d’appeler cela un problème difficile. Et pour résoudre des problèmes difficiles, c’est une bonne idée de poser des questions simples sur la même configuration. Dans ce cas, j’ai deux questions à vous poser : 1) combien de droites y a-t-il ? et 2) en combien de points ces droites se croisent-elles dans le cercle ?

Pour la première question, chaque droite correspond uniquement à une paire de points. De même, chaque paire de points nous donne une seule droite.

Heureusement, compter le nombre de paires dans un ensemble est assez fréquent en mathématiques que nous avons une notation spécifique pour cela : « 𝑛 parmi deux », que nous évaluons comme 𝑛 fois 𝑛 moins un divisé par deux.

Pour voir d’où vient cette formule, remarquez que vous avez 𝑛 options pour le premier élément de la paire, que nous multiplions par les 𝑛 moins une options qui restent pour le deuxième élément. Mais cela compterait deux fois chaque paire, alors nous divisons par deux.

Par exemple, lorsque 𝑛 égale sept, sept parmi deux c’est sept fois six sur deux ou 21. Il y a donc 21 paires de points et donc 21 droites.

Et si nous avions cent points ; compter les droites directement serait un cauchemar. Mais on peut calculer 100 parmi deux, soit 100 fois 99 divisé par deux, soit 4950.

Le nombre de points d’intersection est un peu plus subtil. Bien que chaque point d’intersection corresponde à une paire unique de droites, il existe de nombreuses paires de droites qui ne se croisent pas dans le cercle. Nous ne pouvons donc pas simplement compter les paires de droites. Nous pouvons toutefois associer chaque point d’intersection à un ensemble de quatre points sur le cercle.

Puisque cette association va dans le sens inverse, chaque quadruplet de points donne un point d’intersection unique. Regardons ça ! N’est-ce pas admirable ? Cela signifie que le nombre de points d’intersection est le même que le nombre de quadruplés de nos 𝑛 points de départ.

La fonction 𝑛 parmi quatre compte des quadruplés dans un ensemble de taille 𝑛. Et nous allons l’évaluer en prenant 𝑛 fois 𝑛 moins un fois 𝑛 moins deux fois 𝑛 moins trois, le tout divisé par un fois deux fois trois fois quatre.

La dérivation de cette formule est similaire à celle de 𝑛 parmi deux. Vous multipliez 𝑛, le nombre d’options que vous avez pour chaque entrée successive. Ensuite, vous divisez par le nombre au-delà duquel vous avez compté.

Par exemple, avec 𝑛 égale à quatre, quatre parmi quatre, c’est un. Et en effet, il n’y a qu’un seul point d’intersection. Six parmi quatre vaut 15. Donc, lorsque 𝑛 vaut six, il y a 15 points d’intersection. Et si 𝑛 était 100, même si la perspective de compter les points d’intersection est horrible, on peut néanmoins en déduire qu’il y en aura 3,921,225.

Maintenant, comment cela nous aide-t-il à compter les sections dans le cercle ? Vous vous demander peut-être. Eh bien, cela nous aidera, une fois que nous aurons envisagé les graphes et la formule d’Euler. Non, non, pas de graphes de fonctions et pas cette histoire de 𝑒 à la puissance 𝜋𝑖.

Le mot graphe peut également désigner un ensemble de points, appelés « sommets », ainsi qu’un ensemble de droites reliant certains de ces points, que nous appelons « arêtes ». Remarquez que si nous comptons le nombre de sommets de ce graphe, ensuite soustrayons le nombre d’arêtes, puis ajoutons le nombre de régions où ce graphe coupe l’espace, y compris cette région externe, nous obtenons deux. Si nous faisons la même chose avec cet autre graphe, eh bien, nous obtenons également deux.

Ceci n’est pas une coïncidence. Vous pouvez le faire avec n’importe quel graphe. Tant que vos arêtes ne se croisent pas, la réponse est toujours deux. Si les arêtes pouvaient se croiser, vous pourriez simplement modifier le nombre de régions sans modifier le nombre de sommets et d’arêtes. Alors bien sûr ce serait ridicule.

Cette relation est dénommée « la caractéristique d’Euler ». Et il est facile de voir d’où son nom vient puisque « Eulerz » veut dire beau en allemand.

Si vous êtes curieux, la raison pour laquelle nous écrivons 𝑓 pour le nombre de régions est que la formule fait traditionnellement référence au nombre de sommets, d’arêtes et de faces de polyèdres tridimensionnels. Dans une autre vidéo, je vais expliquer pourquoi cela est vrai. Mais ici, utilisons-le simplement pour résoudre notre problème de cercle.

Notre configuration est déjà un graphe avec 𝑛 sommets et 𝑛 parmi deux arêtes, une entre chaque paire de points. Mais nous ne pouvons pas appliquer directement la caractéristique d’Euler, car nos arêtes se coupent plusieurs fois, 𝑛 parmi quatre fois pour être exact.

Cependant, si nous considérons chaque point d’intersection comme un sommet, cela signifie que nos droites d’origine doivent être coupées en ces points, et si nous incluons également les segments du cercle reliant nos 𝑛 points extérieurs en tant que nouvelles arêtes, nous aurions un graphe parfaitement adapté à la formule d’Euler.

En particulier, le nombre de régions dans cette image est le nombre d’arêtes dans notre nouveau graphe moins le nombre de sommets plus deux.

Comme notre nouveau graphique conserve les 𝑛 sommets d’origine et en ajoute un autre 𝑛 parmi quatre pour les points d’intersection, nous remplacerons le terme moins 𝑠 par moins 𝑛 moins 𝑛 parmi quatre.

Pour trouver le nombre d’arêtes, il est possible de considérer que les points d’intersection ajoutent chacun deux arêtes, car chacun d’eux prend deux droites existantes puis les coupe en quatre parties plus petites. Par exemple, trois droites se croisant en deux points seraient coupées en trois plus deux fois deux égale sept petites parties. Quatre droites se croisant en trois points seraient coupées en quatre plus deux fois trois égale dix petites parties.

Et sur notre diagramme circulaire, notre 𝑛 parmi deux droites qui se coupent en 𝑛 parmi quatre points se coupent en 𝑛 parmi deux plus deux fois 𝑛 parmi quatre petites parties, plus un autre 𝑛 pour les segments de cercle que nous considérons maintenant comme des arêtes.

Pour en revenir à notre formule, nous pouvons remplacer 𝑎 par 𝑛 parmi deux plus deux fois 𝑛 parmi quatre plus 𝑛. En regroupant des termes similaires, nous voyons que notre graphe coupe le plan bidimensionnel en deux plus 𝑛 parmi deux plus 𝑛 parmi quatre parties. Puisque ce qui nous intéresse est de compter les régions à l’intérieur du cercle, donc nous pouvons ignorer cette région extérieure et écrire notre réponse finale comme un plus 𝑛 parmi deux plus 𝑛 parmi quatre.

Génial ! Nous avons trouvé la réponse. Mais pourquoi diable cette formule porte-t-elle sur des puissances de deux pour 𝑛 strictement inférieur à six, puis encore une fois lorsque 𝑛 vaut 10 ? Ce n’est pas juste une coïncidence ; cela a un rapport avec le triangle de Pascal. Le triangle de Pascal est construit comme suit : chaque terme est la somme des deux termes au-dessus. Si vous additionnez chaque rang, vous obtenez une puissance successive de deux. Pour vous en convaincre, notez que chaque terme est ajouté deux fois dans le rang suivant, alors la somme de chaque rang doit donc être le double de la somme du rang précédant.

La fonction 𝑛 parmi 𝑘 est étroitement liée à ce triangle, puisque la 𝑘è entrée du 𝑛è rang, où le comptage commence à zéro, est toujours 𝑛 parmi 𝑘. Par exemple, pour trouver cinq parmi trois dans le triangle, comptons à rebours jusqu’au zéro, un, deux, trois, quatre, cinquième rang ; puis avançons zéro, un, deux, trois. Et en effet, cinq parmi trois est 10. Cela signifie que la réponse à notre problème de cercle pour 𝑛 point est la somme des entrées d’ordre zéro, deux et quatre du 𝑛è rang du triangle de Pascal.

Par exemple, si 𝑛 est cinq, nous pouvons voir qu’il nous faut simplement ajouter un, 10 et cinq. Puisque chaque terme est la somme des deux au-dessus, c’est la même chose que d’ajouter le quatrième rang entier, ce qui correspond à une puissance de deux. De même, pour les valeurs plus petites de 𝑛, la réponse sera la somme de 𝑛 moins le premier rang, et donc une puissance de deux.

Toutefois, lorsque 𝑛 vaut six et que nous associons les termes au cinquième rang, remarquez que nous n’ajoutons pas le rang entier puisque nous avons manqué ce dernier terme. Nous n’avons donc que 31. Lorsque 𝑛 vaut 10, nous additionnons précisément la moitié du neuvième rang. Donc la réponse est la moitié de deux à la puissance neuf, qui est deux à la puissance huit.

Donc en résumé, commençons par transformer notre diagramme en un graphe adapté à la caractéristique d’Euler en ajoutant tous les points d’intersection comme sommets et en coupant toutes les arêtes. Ensuite, comptons le nombre de droites et de points d’intersection en les rapportant à des paires et quadruplés de nos points de départ. Enfin, utilisons la formule d’Euler pour déduire le nombre de sections, puis associons cela à des puissances de deux en utilisant le triangle de Pascal.

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