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Vidéo question :: Utilisation de la formule de Moivre pour intégrer une fonction trigonométrique Mathématiques • Troisième secondaire

Utilisez la formule de Moivre pour déterminer la valeur exacte de ∫_(0)^(𝜋/2) cos⁵𝜃 d𝜃.

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Transcription de la vidéo

Utilisez la formule de Moivre pour déterminer la valeur exacte de l’intégrale de zéro à 𝜋 sur deux de cosinus puissance cinq 𝜃 d𝜃.

D’après l’écriture exponentielle du nombre complexe, on sait que, 𝑒 puissance 𝑖𝜃 est égal à cosinus 𝜃 plus 𝑖 sinus 𝜃. Mais il existe un résultat supplémentaire. Soit 𝑧 égale cosinus 𝜃 plus 𝑖 sinus 𝜃, alors 𝑧 plus un sur 𝑧 est égal à deux cosinus 𝜃 et 𝑧 moins un sur 𝑧 est égal à deux 𝑖 sinus 𝜃. En utilisant la formule de De Moivre on peut généraliser ceci et dire que 𝑧 puissance 𝑛 plus un sur 𝑧 puissance 𝑛 est égal à deux cosinus 𝑛𝜃, et que 𝑧 puissance 𝑛 moins un sur 𝑧 puissance 𝑛 est égal à deux 𝑖 sinus 𝑛𝜃. En fait, dans cette vidéo, nous allons uniquement utiliser l’identité avec deux cosinus 𝑛𝜃.

Maintenant, revenons à la question. On cherche à calculer une intégrale de cosinus puissance cinq 𝜃. On sait que deux cosinus 𝜃 est égale à 𝑧 plus un sur 𝑧. On peut élever chaque membre de cette équation à la puissance cinq. En distribuant le cinq dans les parenthèses, on voit que ça peut s’écrire 32 cosinus puissance cinq 𝜃 égale 𝑧 plus un sur 𝑧 puissance cinq. Nous allons développer le côté droit de cette équation. Pour ce faire, rappelons la formule du binôme de Newton.

Elle énonce que 𝑎 plus 𝑏 puissance 𝑛 est égal à la somme de 𝑘 allant de zéro jusqu’à 𝑛 de 𝑛 choisit 𝑘 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑘 fois 𝑏 puissance 𝑘. Pour 𝑛 égale cinq, on obtient 𝑎 puissance cinq plus cinq choisit un 𝑎 puissance quatre 𝑏 plus cinq choisit deux 𝑎 au cube 𝑏 au carré, et ainsi de suite. Mais bien sûr, cinq choisit un est égal à cinq. Cinq choisit deux est égal à 10. Cinq choisit trois est aussi égal à 10. Et cinq choisit quatre est égal à cinq.

Cela signifie qu’en développant, le premier terme est 𝑧 puissance cinq. Le deuxième est cinq fois 𝑧 puissance quatre fois un sur 𝑧, ce qui se simplifie à cinq 𝑧 au cube. Le troisième est 10𝑧 au cube fois un sur 𝑧 carré. Ce qui devient 10𝑧 au cube fois un sur 𝑧 carré. Ce qui donne 10𝑧. On a ensuite 10𝑧 au carré fois un sur 𝑧 au cube. Et ça se simplifie à 10 fois un sur 𝑧. L’avant-dernier terme est cinq fois 𝑧 fois un sur 𝑧 puissance quatre, ce qui se simplifie à cinq fois un sur 𝑧 au cube. Le dernier terme est un sur 𝑧 puissance cinq, ce qui vaut bien sûr un sur 𝑧 puissance cinq.

Maintenant, nous allons regrouper les termes en 𝑧 de même puissance. On a 𝑧 puissance cinq plus un sur 𝑧 puissance cinq. Ensuite, cinq 𝑧 au cube plus cinq fois un sur 𝑧 au cube, ce qui vaut cinq fois 𝑧 au cube plus un sur 𝑧 au cube. Et enfin, 10𝑧 plus 10 fois un sur 𝑧. En factorisant par 10, on obtient 10 fois 𝑧 plus un sur 𝑧. Cette étape est très importante car on peut maintenant revenir à l’une des identités précédentes. Il s’agit de 𝑧 puissance 𝑛 plus un sur 𝑧 puissance 𝑛 égale à deux cosinus 𝑛𝜃.

Dans la première expression, 𝑛 est égal à cinq. Et donc, on peut l’écrire deux cosinus cinq 𝜃. Dans la deuxième expression, 𝑛 est égal à trois. On a donc cinq fois deux cosinus trois 𝜃. Ce n’est pas tout à fait évident, mais dans la troisième expression, 𝑛 est égal à un. On obtient donc 10 fois deux cosinus 𝜃. On a maintenant presque une expression de cosinus puissance cinq 𝜃 uniquement en fonction de cosinus de multiples de 𝜃. La dernière étape consiste à tout diviser par 32. Ce faisant, on remarque que tous les facteurs deux se simplifient. Et donc, on constate que cosinus 𝜃 puissance cinq est égal à un seizième de cosinus cinq 𝜃 plus cinq cosinus trois 𝜃 plus 10 cosinus 𝜃.

Nous voilà prêts à trouver la valeur exacte de l’intégrale de zéro à 𝜋 sur deux de cosinus 𝜃 puissance cinq d𝜃. Remplaçons cosinus puissance 5 𝜃 par notre nouvelle expression. On voit maintenant qu’on cherche à calculer l’intégrale de zéro à 𝜋 sur deux d’un seizième de cosinus cinq 𝜃 plus cinq cosinus trois 𝜃 plus 10 cosinus 𝜃 d𝜃. D’abord, sortons le facteur commun un seizième. Ensuite, on voit qu’on peut effectuer une intégration terme par terme. On sait que l’intégrale indéfinie de cosinus 𝑛𝜃 d𝜃, où 𝑛 est une constante réelle, est un sur 𝑛 fois sinus 𝑛𝜃 plus une constante d’intégration 𝑐.

Mais bien sûr, on a affaire à une intégrale définie. On intègre donc d’abord cosinus cinq 𝜃 et on obtient un cinquième de sinus cinq 𝜃. Mais on n’a plus besoin de la constante d’intégration. Ensuite, en intégrant cinq cosinus trois 𝜃, on obtient cinq fois un tiers ou cinq tiers de sinus trois 𝜃. Et enfin, on intègre 10 cosinus 𝜃 et on obtient 10 sinus 𝜃. On a donc un seizième d’un cinquième de sinus cinq 𝜃 plus cinq tiers de sinus trois 𝜃 plus 10 sinus 𝜃. Il faut calculer cela entre zéro et 𝜋 sur deux. Mais sinus de zéro est égale zéro. On a donc un seizième d’un cinquième de sinus de cinq 𝜋 sur deux plus cinq tiers de sinus trois 𝜋 sur deux plus 10 sinus 𝜋 sur deux moins zéro.

Or, sinus cinq 𝜋 sur deux est égale à un, sinus trois 𝜋 sur deux est égale à moins un, et sin 𝜋 sur deux est égale à un. On a donc un seizième d’un cinquième moins cinq tiers plus 10. Nous allons additionner ces fractions en les remmenant au même dénominateur. 15 en l’occurrence. On multiplie donc par trois le numérateur et le dénominateur de un cinquième. On multiplie par cinq le numérateur et le dénominateur de cinq sur trois. Ensuite, on écrit 10 comme 10 sur un. Et on multiplie par 15 le numérateur et le dénominateur. Donc, ça devient trois quinzièmes moins 25 quinzièmes plus 150 quinzièmes. On obtient donc un seizième de 128 sur 15. Mais 128 est divisible par 16. En faisant la division, on obtient huit. Tout se simplifie très bien et donne huit quinzièmes.

C’est donc terminé. Nous avons utilisé Moivre pour trouver la valeur exacte de l’intégrale de zéro à 𝜋 sur deux de cosinus puissance cinq 𝜃 d𝜃. C’est huit quinzièmes.

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