Vidéo question :: Définir le vecteur unitaire dans la direction d’un vecteur défini par deux points | Nagwa Vidéo question :: Définir le vecteur unitaire dans la direction d’un vecteur défini par deux points | Nagwa

Vidéo question :: Définir le vecteur unitaire dans la direction d’un vecteur défini par deux points Mathématiques • Troisième secondaire

Déterminez le vecteur unitaire dans la direction de 𝐀𝐁 sachant que 𝐀 = (0, 1, −2) et 𝐁 = (1, 1, 2).

05:04

Transcription de la vidéo

Déterminez le vecteur unitaire dans la direction du vecteur 𝐀𝐁, sachant que le vecteur 𝐀 est égal à zéro, un, moins deux et que le vecteur 𝐁 est égal à un, un, deux.

Dans cette question, nous étudions deux vecteurs : le vecteur 𝐀 et le vecteur 𝐁. Nous devons déterminer le vecteur unitaire qui a la même direction que le vecteur 𝐀𝐁. Nous allons pour cela commencer par rappeler ce que l’on entend par vecteur unitaire. On dit que tout vecteur de norme un est un vecteur unitaire et on le représente souvent par la lettre petit 𝐞 avec un demi-flèche au-dessus. Par exemple, 𝐞 indice 𝐀 est le vecteur dans la même direction que le vecteur 𝐀 mais dont la norme est égale à un. Pour trouver le vecteur unitaire dans la direction de 𝐀𝐁, on peut donc le désigner par 𝐞 indice 𝐀𝐁. Il s’agit du vecteur dans la même direction que 𝐀𝐁. Mais dont la norme est égale à un.

On rappelle également qu’il existe une formule permettant de trouver le vecteur unitaire pointant dans la même direction que le vecteur 𝐯. 𝐞 indice 𝐯 est égal à un sur la norme de 𝐯 fois le vecteur 𝐯. Et nous allons ici appliquer cela au vecteur 𝐀𝐁. Mais nous devons tout d’abord le définir. On rappelle pour cela que le vecteur de 𝐀 à 𝐁 est égal au vecteur 𝐁 moins le vecteur 𝐀. C’est-à-dire au vecteur un, un, deux moins le vecteur zéro, un, moins deux. Et on rappelle que pour soustraire deux vecteurs avec le même nombre de composantes, on soustrait leurs composantes correspondantes séparément. Cela nous donne le vecteur un moins zéro, un moins un et deux moins moins deux.

Et nous pouvons maintenant simplement calculer chacune de ces composantes séparément. On trouve ainsi que 𝐀𝐁 est le vecteur un, zéro, quatre. Nous pouvons à présent appliquer la formule permettant de trouver le vecteur unitaire qui pointe dans la même direction que 𝐀𝐁. 𝐞 indice 𝐀𝐁 est égal à un sur la norme de 𝐀𝐁 fois le vecteur 𝐀𝐁. Mais nous ne pouvons pas encore l’évaluer car nous ne connaissons pas la norme de 𝐀𝐁. Nous allons donc devoir la calculer. Rappelons pour cela la formule permettant de calculer la norme d’un vecteur. Elle est égale à la racine carrée des sommes des carrés de ses composantes. Par exemple, la norme du vecteur 𝑥, 𝑦, 𝑧 est égale à racine carrée de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑧 au carré.

Nous pouvons alors utiliser cette formule pour calculer la norme de notre vecteur 𝐀𝐁. La valeur de 𝑥 est un, la valeur de 𝑦 est zéro et la valeur de 𝑧 est quatre. Et on calcule la racine carrée de la somme des carrés de ces composantes. Cela nous donne racine carrée de un au carré plus zéro au carré plus quatre au carré. Ce qui fait racine carrée de 17. Nous pouvons à présent remplacer ces deux éléments dans la formule de 𝐞 indice 𝐀𝐁. Et on trouve que 𝐞 indice 𝐀𝐁 est égal à un sur racine carrée de 17 fois le vecteur un, zéro, quatre. Nous pourrions laisser notre réponse comme ceci. Mais nous pouvons aussi la simplifier car nous multiplions ici un vecteur par une constante. Nous pouvons donc appliquer les règles de la multiplication par un scalaire.

On rappelle que pour multiplier un vecteur par un scalaire, on multiplie toutes les composantes du vecteur par le scalaire. En d’autres termes, 𝑘 fois le vecteur 𝑥, 𝑦, 𝑧 est égal au vecteur 𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧. Nous devons donc multiplier toutes les composantes de notre vecteur par le scalaire un sur racine carrée de 17. Cela nous donne le vecteur un sur racine carrée de 17 fois un, un sur racine carrée de 17 fois zéro, et un sur racine carrée de 17 fois quatre. Et on peut évaluer chacune de ces composantes. On trouve ainsi un sur racine carrée de 17, zéro et quatre sur racine carrée de 17. Et nous pourrions simplement laisser notre réponse comme ceci. Mais on préfère par convention simplifier les dénominateurs pour éviter les racines carrées.

Et on peut pour cela multiplier les première et troisième composantes du vecteur par racine carrée de 17 sur racine carrée de 17. On obtient ainsi notre réponse finale qui est le vecteur racine carrée de 17 sur 17, zéro, quatre racine carrée de 17 sur 17. Pour le vecteur 𝐀 zéro, un, moins deux et le vecteur 𝐁 un, un, deux, nous avons ainsi pu trouver le vecteur 𝐀𝐁 en soustrayant le vecteur 𝐀 au vecteur 𝐁. Nous avons ensuite calculé le vecteur unitaire dans la même direction que 𝐀𝐁 en multipliant 𝐀𝐁 par un sur sa norme. Nous pouvons donc conclure que 𝐞 indice 𝐀𝐁 est égal au vecteur racine carrée de 17 sur 17, zéro, quatre racine carrée de 17 sur 17.

Rejoindre Nagwa Classes

Assistez à des séances en direct sur Nagwa Classes pour stimuler votre apprentissage avec l’aide et les conseils d’un enseignant expert !

  • Séances interactives
  • Chat et messagerie électronique
  • Questions d’examen réalistes

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site web. Apprenez-en plus à propos de notre Politique de confidentialité