Vidéo : Points, milieu d’un segment et distances dans l’espace

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer les coordonnées d’un point en 3D, la distance entre deux points et les coordonnées du milieu et des extrémités d’un segment en 3D en utilisant la formule.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer les coordonnées d'un point en trois dimensions. Nous allons aussi déterminer la distance entre deux points en 3D, puis le point du milieu. Nous commencerons par rappeler ce que nous savons sur les points, les points de milieu et les distances en deux dimensions. Le plan bidimensionnel des coordonnées 𝑥𝑦 est dessiné ci-dessous. Tout point de ce plan de coordonnées aura des coordonnées 𝑥 et 𝑦. Considérons les deux points 𝐴 et 𝐵 avec les coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux, respectivement.

Afin de trouver le milieu entre 𝐴 et 𝐵, nous trouvons la moyenne des coordonnées 𝑥 et 𝑦. La coordonnée 𝑥 du milieu sera égale à 𝑥 un plus 𝑥 deux divisé par deux. Et la coordonnée 𝑦 sera 𝑦 un plus 𝑦 deux sur deux. Afin de calculer la distance entre deux points sur le plan 𝑥𝑦, nous utilisons une adaptation du théorème de Pythagore. La distance entre le point 𝐴 et le point 𝐵 est la racine carrée de 𝑥 deux moins 𝑥 un au carré plus 𝑦 deux moins 𝑦 un au carré. Nous trouvons la différence entre les coordonnées 𝑥 et l’élevons au carré. Nous trouvons ensuite la différence entre les coordonnées 𝑦 et l’élevons au carré. La racine carrée de la somme de ces carrés est la distance entre les deux points sur le plan 𝑥𝑦.

Nous allons maintenant voir comment nous pouvons adapter ces deux formules en trois dimensions. Le plan tridimensionnel 𝑥𝑦𝑧 pourrait être tracé de plusieurs façons sur une surface bidimensionnelle. Nous savons que tout point aura des coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Par exemple, les deux points indiqués ont des coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux, 𝑧 deux. Nous pouvons trouver le point de milieu de 𝐴 et 𝐵 en trouvant la moyenne des coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧. La coordonnée 𝑥 du milieu sera 𝑥 un plus 𝑥 deux divisé par deux. La coordonnée de 𝑦 sera 𝑦 un plus 𝑦 deux divisé par deux. Et la coordonnée 𝑧 sera 𝑧 un plus 𝑧 deux divisée par deux.

On peut exprimer la formule de la distance de la même manière. La distance entre deux points en trois dimensions est égale à la racine carrée de 𝑥 deux moins 𝑥 un au carré plus 𝑦 deux moins 𝑦 un au carré plus 𝑧 deux moins 𝑧 un au carré. Nous répétons simplement le processus utilisé avec les coordonnées 𝑥 et 𝑦 avec la coordonnée 𝑧. Nous allons maintenant voir certaines questions pour lesquelles nous devons identifier des points en trois dimensions.

Auquel des plan suivants le point de coordonnées moins sept, moins huit, zéro appartient-il ? Est-ce (A) le plan 𝑥𝑦, (B) le plan 𝑥𝑧, ou (C) le plan 𝑦𝑧 ?

Nous savons que tout point en trois dimensions a des coordonnée 𝑥, 𝑦, et 𝑧. Dans cette question, la coordonnée 𝑥 est moins sept, la coordonnée 𝑦 est moins huit, et la coordonnée 𝑧 est zéro. Comme 𝑧 est égal à zéro, le point ne se déplacera pas dans la direction de l'axe 𝑧. Nous pouvons donc conclure que comme 𝑧 est égal à zéro, le point appartiendra au plan 𝑥𝑦. Si notre coordonnée 𝑦 était égale à zéro mais que 𝑥 et 𝑧 avaient une valeur positive ou négative, alors le point appartiendrait au plan 𝑥𝑧. De même, un point appartiendrait au plan 𝑦𝑧 s'il avait comme coordonnées zéro, 𝑦, 𝑧, où 𝑦 et 𝑧 sont des valeurs positives ou négatives.

Dans notre question suivante, nous devons trouver les coordonnées d'un point graphiquement.

Déterminez les coordonnées du point 𝐴.

Tout point du plan en 3D aura des coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Nous pouvons voir sur notre diagramme que le point 𝐴 a une coordonnée 𝑥 de trois. Il a une coordonnée 𝑦 de moins trois. Enfin, il a une coordonnée 𝑧 de trois. Nous pouvons donc conclure que les coordonnées du point 𝐴 sont trois, moins trois, trois. Si nous ne pouvions pas repérer cela immédiatement sur notre diagramme, nous pourrions commencer par considérer le point 𝐵 dans le plan bidimensionnel 𝑥𝑦. Le point 𝐵 a une coordonnée 𝑥 égale à trois et une coordonnée 𝑦 égale à moins trois. Comme il appartient au plan 𝑥𝑦, il aura une coordonnée 𝑧 égale à zéro.

Le point 𝐴 se trouve juste au-dessus du point 𝐵. Cela signifie que ses coordonnées 𝑥 et 𝑦 seront les mêmes. Il ne nous reste plus qu'à calculer la distance parcourue le long de l'axe 𝑧 pour aller du point 𝐵 au point 𝐴. Comme cette distance est égale à trois, la coordonnée 𝑧 du point 𝐴 est trois. Cela confirme que le point 𝐴 a comme coordonnées trois, moins trois, trois.

Dans notre question suivante, nous devons déterminer le milieu d'un segment.

Les coordonnées des points 𝐴 et 𝐵 sont respectivement huit, moins huit, moins 12 et moins huit, cinq, moins huit. Déterminez les coordonnées du milieu du segment 𝐴𝐵.

Nous rappelons que pour déterminer le milieu de deux points en trois dimensions, nous devons trouver la moyenne des coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Nous pouvons commencer par dire que le point 𝐴 a les coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un et que le point 𝐵 a 𝑥 deux, 𝑦 deux, 𝑧 deux. La coordonnée 𝑥 de notre milieu sera huit plus moins huit divisé par deux. Huit plus moins huit est zéro, et zéro divisé par deux est égal à zéro. Les coordonnées 𝑦 de 𝐴 et 𝐵 sont moins huit et cinq. Cela signifie que la coordonnée 𝑦 du milieu sera égale à la somme de moins huit plus cinq divisée par deux. Ceci est égal à moins trois sur deux, que nous pourrions écrire comme moins un et demi ou moins 1,5. Nous laisserons la réponse sous la forme d'une fraction impropre.

La coordonnée 𝑧 de notre milieu est égale à la somme de moins 12 plus moins 8 divisé par deux. Moins 12 plus moins 8 est égale à moins 20. En divisant ce chiffre par deux, on obtient moins 10. Les coordonnées du milieu du segment 𝐴𝐵 sont zéro, moins trois sur deux, moins 10. Nous pourrions vérifier cette réponse en examinant les distances entre ces valeurs et les valeurs correspondantes des points 𝐴 et 𝐵. Le zéro se trouve à huit de huit et de moins huit. Moins trois sur deux ou moins 1,5 est à 6,5 de moins huit et aussi de cinq. Enfin, moins 10 est à deux de moins 12 et aussi à deux de moins 8. Cela confirme que le milieu des points 𝐴 et 𝐵 est égal à zéro, moins trois sur deux, moins dix.

Dans notre question suivante, nous devrons trouver la distance entre un point et l'un des axes.

Quelle est la distance entre le point 19, cinq, cinq et l'axe des 𝑥 ?

Tout point sur l'axe 𝑥 aura des coordonnées 𝑥, zéro, zéro. Les coordonnées 𝑦 et 𝑧 doivent être égales à zéro. On nous donne les coordonnées d'un point 19, cinq, cinq. Le point le plus proche sur l'axe des 𝑥 aura les coordonnées 19, zéro, zéro. La distance la plus courte sera le point où la coordonnée 𝑥 est la même. Nous savons que nous pouvons calculer la distance entre deux points en trois dimensions en utilisant une adaptation du théorème de Pythagore. Si nous avons deux points dont les coordonnées sont 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux, 𝑧 deux, la distance entre eux est égale à la racine carrée de 𝑥 deux moins 𝑥 un au carré plus 𝑦 deux moins 𝑦 un au carré plus 𝑧 deux moins 𝑧 un au carré.

En substituant dans nos deux coordonnées, on obtient la racine carrée de 19 moins 19 au carré plus zéro moins cinq au carré plus zéro moins cinq au carré. 19 moins 19 est égal à zéro. Zéro moins cinq est égal à moins cinq. Il nous reste donc la racine carrée de moins cinq au carré plus moins cinq au carré. En multipliant un nombre négatif par un nombre négatif, on obtient une réponse positive. Ainsi, le carré de moins cinq est égal à 25. Cela signifie que notre réponse se simplifie à la racine carrée de 50.

Il convient de souligner que nous aurions pu soustraire les coordonnées dans l'autre ordre, car cinq moins zéro au carré égale aussi 25. Comme le carré d'un nombre donne toujours une réponse positive, alors l'ordre dans lequel nous soustrayons nos coordonnées n'a pas d'importance. Nous pouvons en fait simplifier notre réponse en utilisant les lois des nombres radicaux. La racine carrée de 50 est égale à la racine carrée de 25 multipliée par la racine carrée de deux. Comme la racine carrée de 25 est égale à cinq, il nous reste cinq multiplié par la racine carrée de deux ou cinq racine de deux. La racine carrée de 50 est égale à cinq racine de deux. Nous pouvons donc conclure que la distance entre les points 19, cinq, cinq et l'axe des 𝑥 est de cinq racine de deux unités de longueur.

Nous pourrions en fait remarquer un raccourci ici. Pour trouver la distance entre un point quelconque et un axe, il suffit de trouver la somme des carrés des deux autres coordonnées, puis de calculer la racine carrée de la réponse. Pour calculer la distance par rapport à l'axe des 𝑥, il suffit d'élever au carré les coordonnées 𝑦 et 𝑧, de trouver leur somme, puis déterminer la racine carrée de la réponse. Si nous devions calculer la distance entre un point et l'axe des 𝑦, alors nous aurions élevé au carré les coordonnées 𝑥 et 𝑧, trouverions la somme de ces coordonnées, puis calculerions la racine carrée de la réponse. Nous utiliserions la même méthode pour trouver la distance entre un point et l'axe des 𝑧, cette fois en utilisant les coordonnées 𝑥 et 𝑦.

Dans notre dernière question, nous trouverons la distance entre deux points étant donné leurs coordonnées en trois dimensions.

Déterminez la distance entre les deux points 𝐴 : moins sept, 12, trois et 𝐵 : moins quatre, moins un, moins huit.

Nous savons que nous pouvons trouver la distance entre deux points dans un espace tridimensionnel en utilisant la formule suivante. La distance est égale à la racine carrée de 𝑥 deux moins 𝑥 un au carré plus 𝑦 deux moins 𝑦 un au carré plus 𝑧 deux moins 𝑧 un au carré. Dans cette question, nous allons définir les coordonnées du point 𝐴 comme 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un, et les coordonnées du point 𝐵 comme 𝑥 deux, 𝑦 deux, 𝑧 deux. En substituant avec ces valeurs, on obtient la racine carrée de moins quatre moins moins sept au carré plus moins un moins 12 au carré plus moins huit moins trois au carré.

Moins quatre moins sept est la même chose que moins quatre plus sept. Ceci est égal à trois. Moins un moins 12 est égal à moins 13. Enfin, moins huit moins trois est égal à moins 11. Nous savons que le fait d’élever au carré un nombre négatif donne une réponse positive. Cela signifie que le carré de trois est égal à neuf, le carré de moins 13 est 169 et le carré de moins 11 est 121. 169 plus 121 est égal à 290. Et en ajoutant neuf, on obtient 299. Nous pouvons donc conclure que la distance entre les deux points moins sept, 12, trois et moins quatre, moins un, moins huit est la racine carrée de 299 unités de longueur.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Dans cette vidéo, nous avons vu que tout point en trois dimensions a des coordonnées 𝑥, 𝑦, et 𝑧. Nous avons vu que si notre coordonnée 𝑧 est égale à zéro, alors le point appartient au plan 𝑥𝑦. Si la coordonnée 𝑦 était zéro, alors le point se trouverait sur le plan 𝑥𝑧. De même, si 𝑥 est zéro, alors le point appartient au plan 𝑦𝑧. Nous avons aussi vu que si un point a deux coordonnées qui sont égales à zéro, par exemple, si 𝑦 est égale à zéro et 𝑧 est égale à zéro, alors il se trouvera sur l'un des axes, dans ce cas, l'axe des 𝑥.

Si 𝑥 et 𝑦 étaient tous deux égaux à zéro, alors le point se trouverait sur l'axe des 𝑧. Et de la même manière, si 𝑥 et 𝑧 étaient tous deux égaux à zéro, alors le point se situerait sur l'axe des 𝑦. Nous avons vu que le milieu de deux points 𝐴 et 𝐵 a pour coordonnées 𝑥 un plus 𝑥 deux sur deux, 𝑦 un plus 𝑦 deux sur deux, et 𝑧 un plus 𝑧 deux sur deux. Nous calculons la moyenne des coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧.

Nous avons également vu que nous pouvons calculer la distance entre les deux mêmes points en calculant la racine carrée de 𝑥 deux moins 𝑥 un au carré plus 𝑦 deux moins 𝑦 un au carré plus 𝑧 deux moins 𝑧 un au carré. Ces deux formules nous permettront de résoudre des problèmes pratiques impliquant des coordonnées en trois dimensions.

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