Transcription de vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser l’intégration pour trouver le travail effectué par une force variable. Nous rappelons que pour une force constante 𝐹 qui agit sur un objet lorsque cet objet subit un déplacement 𝑠, le travail effectué par la force 𝑊 est le produit scalaire de la force et du déplacement. Cela peut être écrit comme W est égal au produit scalaire du vecteur 𝐅 et du vecteur 𝐬. Cela peut également s’écrire comme 𝑊 est égal à 𝐹 multiplié par 𝑠 multiplié par le cosinus de 𝜃, où 𝐹 est l’intensité de la force, 𝑠 est la norme du déplacement, et 𝜃 est l’angle entre la force agissant sur l’objet et son déplacement.
Considérons maintenant trois scénarios différents. Tout d’abord, nous allons considérer ce qui se passe lorsque 𝐹 et 𝜃 sont constantes. Si l’intensité de la force est constante et que l’angle entre la force et le déplacement ne varie pas, alors la courbe de 𝐹 cos 𝜃 en fonction de 𝑠 ressemblerait à ce qui est indiqué. La valeur de 𝐹 cos 𝜃 reste constante sur la trajectoire de l’objet. Et le travail effectué par la force est égal à l’aire sous la droite. Comme il s’agit d’une zone rectangulaire, le travail effectué par la force est égal à la longueur multipliée par la largeur. Ceci est égal à 𝑠 multiplié par 𝐹 cos 𝜃. Cela peut également être calculé pour différentes zones du graphique, par exemple, entre les points a et b sur l’axe horizontal.
Voyons maintenant ce qui se passe si 𝐹 varie au fur et à mesure que l’objet se déplace. Par exemple, si 𝐹 augmente avant d’atteindre une valeur constante, alors le graphique de 𝐹 cos 𝜃 en fonction de 𝑠 pourrait ressembler à ceci. Maintenant, afin de trouver l’aire sous la droite, c’est-à-dire le travail effectué, nous devons diviser l’aire en deux régions. Nous avons un trapèze et un rectangle. Le travail effectué serait égal à la somme des aires du trapèze et du rectangle.
Enfin, considérons ce qui se passe si la force 𝐹 est décrite comme une fonction continue. Nous devrions maintenant utiliser l’intégration pour trouver l’aire sous la courbe et donc le travail effectué. En supposant que la force est une fonction de 𝑠, alors le travail effectué est égal à l’intégrale de 𝐹 cos 𝜃 par rapport à 𝑠. Si la force et le déplacement sont dans la même direction, alors 𝜃 est égal à zéro. Et nous savons que le cosinus de zéro est égal à un. Cela signifie que notre formule peut être simplifiée à 𝑊 est égale à l’intégrale de 𝐹 par rapport à 𝑠. Cela nous permet de trouver le travail effectué par une force sur un objet lorsque l’objet se déplace sur une trajectoire parallèle à la force. Nous allons maintenant voir quelques exemples où nous devons calculer le travail effectué par intégration sur un intervalle d’extrémités a et b.
Un objet se déplace le long de l’axe des 𝑥 sous l’action d’une force 𝐹. Étant donné que 𝐹 est égal à huit 𝑠 plus 12 newtons, où 𝑠 mètres est le déplacement depuis l’origine, déterminez le travail effectué sur l’objet par F lorsque l’objet se déplace de 𝑠 égale sept mètres à s égale huit mètres.
Dans cette question, une force variable agit sur un objet. Et le mouvement de l’objet et la force agissant sur lui se font tous deux le long de l’axe des 𝑥. On peut donc calculer le travail effectué en utilisant la formule 𝑊 égale à l’intégrale de 𝐹 par rapport à 𝑠. On nous dit que la force 𝐹 est égale à huit 𝑠 plus 12. Cela signifie que pour calculer le travail effectué, nous devons intégrer cette expression par rapport à 𝑠. Comme nous devons calculer le travail effectué entre 𝑠 égale sept mètres et 𝑠 égale huit mètres, notre limite inférieure est sept et notre limite supérieure est huit. L’intégration de huit 𝑠 nous donne huit 𝑠 au carré sur deux, ce qui se simplifie à quatre 𝑠 au carré. L’intégration de 12 par rapport à 𝑠 nous donne 12𝑠. Le travail effectué est donc égal à quatre 𝑠 au carré plus 12𝑠.
Notre prochaine étape consiste à calculer les limites. Lorsque 𝑠 est égal à huit, la première limite est égale à 352. Et lorsque 𝑠 est égal à sept, la deuxième limite est égale à 280. Le travail effectué sur cette distance est donc égal à 352 moins 280. Cela équivaut à 72. Puisque la force 𝐹 a été mesurée en newtons et le déplacement 𝑠 en mètres, notre travail effectué sera en newton-mètres. Nous savons que cela équivaut à des joules. Par conséquent, le travail effectué sur le l’objet par 𝐹 lorsque l’objet passe de 𝑠 égal à sept mètres à 𝑠 égal à huit mètres est de 72 joules.
Dans l’exemple suivant, l’expression de la force impliquera une fonction trigonométrique.
Une particule se déplace en ligne droite sous l’action de la force 𝐹, où 𝐹 est égal au sinus de 𝜋𝑠 et 𝑠 est mesurée en mètres. Calculez le travail effectué par la force 𝐹 lorsque la particule se déplace de 𝑠 égale zéro à 𝑠 égale un demi.
Dans cette question, une force variable agit sur une particule. Et le mouvement de la particule et la force agissant sur elle sont tous les deux dans le même sens. On peut donc calculer le travail effectué par la force en utilisant la formule 𝑊 est égale à l’intégrale de 𝐹 par rapport à 𝑠. On nous dit dans la question que la force 𝐹 est égale au sinus de 𝜋𝑠. Le travail effectué est donc égal à l’intégrale de cela par rapport à 𝑠. Et nous devons le calculer entre 𝑠 est égal à zéro et 𝑠 est égal à un demi. Donc, ce sont nos limites inférieures et supérieures.
Nous rappelons que l’intégrale de sin 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à moins un sur 𝑎 multiplié par le cos de 𝑎𝑥. Cela signifie que notre expression s’intègre à moins un sur 𝜋 multiplié par le cos de 𝜋𝑠. Notre prochaine étape consiste à calculer nos limites. Lorsque 𝑠 est égal à la moitié, nous avons moins un sur 𝜋 multiplié par cos de 𝜋 sur deux. Le cos de 𝜋 sur deux radians ou 90 degrés est nul. Cela signifie que lorsque 𝑠 est égal à un demi, la première limite est égale à zéro. Lorsque 𝑠 est égal à zéro, nous avons moins un sur 𝜋 multiplié par le cos de zéro. Comme le cos de zéro est un, il nous reste moins un sur 𝜋.
Le travail effectué entre nos limites est donc égal à zéro moins moins un sur 𝜋. Cela se simplifie à un sur 𝜋. Lorsque notre force est mesurée en newtons et le déplacement en mètres, le travail effectué est mesuré en newton-mètres ou joules. On peut donc conclure que le travail effectué par la force 𝐹 est un sur 𝜋 joules.
Dans notre dernier exemple, nous allons calculer le travail effectué par une force variable avec une constante inconnue.
Un bloc se déplace en ligne droite sous l’action d’une force 𝐹 égale à 12𝑠 au carré plus six 𝑠 plus 𝑐 newtons, où 𝑠 mètres est le déplacement de l’objet depuis sa position initiale. Le travail effectué par la force pour déplacer le bloc de 𝑠 égale à zéro mètre à 𝑠 égale à trois mètres est de 34 joules. Déterminez le travail effectué par 𝐹 pour déplacer le bloc de 𝑠, égale à trois mètres, à 𝑠, égale à six mètres.
Comme nous avons une force agissant sur un objet se déplaçant en ligne droite, nous pouvons utiliser la formule 𝑊 égale l’intégrale de 𝐹 par rapport à 𝑠 pour calculer le travail effectué par la force. Dans cette question, on nous dit que la force 𝐹 est égale à 12𝑠 au carré plus six 𝑠 plus 𝑐 newtons. Le travail effectué est donc égal à l’intégrale de cela par rapport à 𝑠. En intégrant chaque terme par rapport à 𝑠, nous avons quatre 𝑠 au cube plus trois 𝑠 au carré plus 𝑐𝑠. On nous dit que le travail effectué par la force pour déplacer le bloc de 𝑠 égal à zéro mètre à 𝑠 égal à trois mètres est 34 de joules. Nous pouvons donc utiliser ces valeurs comme indiqué car cela nous permettra de calculer la constante 𝑐.
Lorsque 𝑠 est égal à trois, le côté droit de notre équation devient 135 plus trois 𝑐. Et lorsque 𝑠 est égal à zéro, cette expression est égale à zéro. Cela signifie que 34 est égal à 135 plus trois 𝑐. En soustrayant 135 des deux côtés de cette équation, nous avons trois 𝑐 est égal à moins 101. Nous pouvons alors diviser par trois de telle sorte que 𝑐 soit égal à moins 101 sur trois. En remplaçant cela dans l’expression du travail effectué, nous avons 𝑊 est égal à quatre 𝑠 au cube plus trois 𝑠 au carré moins 101 sur trois 𝑠.
Comme nous devons calculer le travail effectué par 𝐹 de 𝑠, égal à trois, à 𝑠, égal à six, nous pouvons utiliser ces valeurs dans notre expression. Lorsque 𝑠 est égal six, la première limite est égale à 770 et lorsque 𝑠 est égal à trois, la deuxième limite est égale à 34. Le travail effectué de 𝑠 égal à trois mètres à 𝑠 égal à six mètres est donc égal à 770 moins 34, ce qui donne 736. La réponse finale est donc de 736 joules.
Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons vu dans cette vidéo que nous pouvons utiliser l’intégration pour trouver le travail effectué sur un objet par une force variable. Le travail effectué par une force sur un objet lorsque l’objet se déplace le long d’un trajet parallèle à la force est donné par 𝑊 égale à l’intégrale de 𝐹 d𝑠, où 𝑊 est le travail effectué, 𝐹 est l’intensité de la force qui agit sur l’objet, et d𝑠 est un segment de ligne infinitésimal de la trajectoire.
