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Vidéo de question : Déterminer les termes d’une suite géométrique en fonction de leur somme et de leur produit Mathématiques

Trouvez les trois termes consécutifs d’une suite géométrique tel que la somme égale -14 et le produit 216.

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Transcription de vidéo

Trouvez les trois termes consécutifs d’une suite géométrique, étant donné que la somme des termes est moins 14 et que leur produit est 216.

Tout d’abord, nous devons réfléchir à ce qu’est une suite géométrique, ou parfois appelée progression géométrique. Dans une suite géométrique, chaque terme après le premier terme est trouvé en multipliant le précédent par une raison. Si nous posons notre premier terme 𝑎 et notre raison 𝑟, nous pouvons écrire nos nombres consécutifs de cette façon. Le premier est 𝑎. Le deuxième serait 𝑎 fois 𝑟, car dans une suite, le terme suivant est trouvé en multipliant le terme précédent par la raison. Le troisième terme serait alors 𝑎𝑟, le deuxième terme, fois 𝑟. Et nous pouvons simplifier cela en 𝑎𝑟 au carré.

Nous pouvons utiliser cette information pour écrire quelques équations. Nous savons que la somme de ces valeurs est moins 14. Et cela signifie que nous pourrions dire que 𝑎 plus 𝑎𝑟 plus 𝑎𝑟 au carré est égal à moins 14. Puisque ces trois termes ont une variable 𝑎, nous pouvons la factoriser pour simplifier, ce qui nous laisserait avec l’affirmation 𝑎 fois un plus 𝑟 plus 𝑟 au carré égal à moins 14. Et nous pourrions vouloir réarranger cette équation de sorte que le terme 𝑟 au carré arrive en premier et la constante à la fin. Parce que c’est plus fréquent lorsque nous avons affaire à ce genre d’équations.

Nous n’avons changé aucune valeur. Nous venons de réarranger l’équation. Et c’est tout ce que nous pouvons faire avec l’équation de la somme pour le moment. Nous savons que le produit de ces trois termes est 216, ce qui signifie que 𝑎 fois 𝑎𝑟 fois 𝑎𝑟 au carré est égal à 216. Parce que nous avons affaire à la multiplication, nous pouvons multiplier 𝑎 fois 𝑎 fois 𝑎, ce qui nous donnera 𝑎 au cube. C’est parce que nous avons affaire à 𝑎 à la puissance un. Et 𝑎 à la puissance un fois elle-même fois elle-même encore est égal à 𝑎 au cube.

Nous avons également 𝑟 fois 𝑟 au carré. Cela reviendrait à multiplier 𝑟 à la puissance un fois 𝑟 au carré, ce qui serait 𝑟 au cube. 𝑎 au cube fois 𝑟 au cube est égal à 216. Nous pouvons réécrire ceci comme 𝑎𝑟 au cube est égal à 216. Et puis nous pouvons prendre la racine cubique des deux membres de l’équation. La racine cubique de 𝑎𝑟 au cube est égale à 𝑎𝑟. Et la racine cubique de 216 est six. Si 𝑎 fois 𝑟 est six, cela signifie que nous avons trouvé notre deuxième nombre.

Mais nous n’avons pas encore assez d’informations pour trouver notre premier ou notre troisième nombre. Ce que nous voulons faire, c’est voir si nous pouvons trouver quelque chose à insérer dans notre première équation. Nous pouvons substituer 𝑎 en fonction de 𝑟. Ou nous pouvons substituer 𝑟 en fonction de 𝑎. Pour ce faire, nous utiliserons l’affirmation 𝑎 fois 𝑟 égale six. Si nous divisons les deux membres de l’équation par 𝑟, nous pourrons dire que 𝑎 est égal à six sur 𝑟. Si nous avions divisé les deux membres de l’équation par 𝑎, nous pourrions également dire que 𝑟 est égal à six divisé par 𝑎.

Nous sommes prêts à essayer une substitution. Si nous plaçons six sur 𝑟 pour 𝑎, nous aurions l’équation six sur 𝑟 fois 𝑟 au carré plus 𝑟 plus un égal à moins 14. Ou si vous avez inséré six sur 𝑎 pour 𝑟, vous auriez 𝑎 fois six sur 𝑎 au carré plus six sur 𝑎 plus un égal à moins 14. Ces deux équations nous aideraient à résoudre notre réponse finale. Mais la première option aura des calculs un peu plus simples. Alors allons-y avec cette option.

Actuellement, nous avons 𝑟 dans le dénominateur. Si nous multiplions les deux membres de l’équation par 𝑟 sur un, à gauche, les 𝑟 vont se simplifier. Et nous aurons six fois 𝑟 au carré plus 𝑟 plus un est égal à moins 14𝑟. Ensuite, nous devons développer les parenthèses. Nous avons six 𝑟 au carré plus six 𝑟 plus six égale moins 14𝑟.

Si nous voulons résoudre cette équation pour déterminer 𝑟, nous le faisons en la égalant à zéro. Et cela signifie que nous devons ajouter 14 𝑟 aux deux membres, ce qui nous donnera six 𝑟 au carré plus 20𝑟 plus six est égal à zéro. Nous remarquons que tous les coefficients sont divisibles par deux, ce qui signifie que nous pouvons diviser l’équation entière par deux ou multiplier par un demi. Et puis nous avons trois 𝑟 au carré plus 10𝑟 plus trois est égal à zéro.

Nous voudrons essayer et factoriser cette équation. D’habitude, lorsque nous travaillons avec la factorisation des équations, nous avons affaire à 𝑥 au carré. Mais cela ne change pas le processus simplement parce que notre variable est 𝑟. Puisque trois est un nombre premier, nous savons que nous aurons trois 𝑟 d’un membre et 𝑟 de l’autre, car ce sont les seuls facteurs de trois. Et la même chose est vraie pour notre coefficient de trois. Nous savons donc que nous aurons trois et un.

Nous devons faire en sorte que ce terme médian soit égal à 10𝑟. Si nous multiplions à l’extérieur, trois 𝑟 fois trois, c’est neuf 𝑟. Et nos deux autres termes multipliés ensemble pour égaler un, d’où un 𝑟 plus neuf 𝑟 égale 10𝑟. Tout est positif. Et nous avons trois 𝑟 plus une fois un 𝑟 plus trois. Nous posons ces deux équations égales à zéro. À droite, nous soustrayons trois des deux membres. Et nous voyons que lorsque 𝑟 égale moins trois, l’équation est égale à zéro.

Sur le membre gauche, nous devons faire deux étapes. Tout d’abord, nous soustrayons un des deux membres. Ensuite nous divisons les deux membres par trois. Donc 𝑟 est aussi égal à moins un tiers. Mais que fait-on de cette information ? Eh bien, nous savons que 𝑎 fois 𝑟 est égal à six. Et 𝑟 sera soit moins trois, soit moins un tiers.

Considérons d’abord le premier cas, lorsque 𝑟 est moins trois. Pour savoir à quoi 𝑎 serait égal si 𝑟 était moins trois, nous divisons les deux membres de l’équation par moins trois. Six divisé par moins trois égale moins deux. Nous voulons donc dire que lorsque 𝑟 est moins trois, 𝑎 est moins deux. 𝑎𝑟 est six. Voilà nos deux premiers termes. Et notre troisième terme serait égal à moins deux fois moins trois au carré. Moins trois au carré est neuf, fois moins deux serait moins 18.

Et maintenant, nous allons voir quand 𝑟 est moins un tiers. Pour savoir à quoi 𝑎 est égal lorsque 𝑟 est moins un tiers, nous multiplions les deux membres de l’équation par moins trois, ce qui nous dit que 𝑎 est égal à six fois moins trois. 𝑎 est égal à moins 18.

Maintenant, nous examinons le cas où 𝑟 est moins un tiers. Nous savons déjà que le terme médian 𝑎𝑟 doit être égal à six. Mais lorsque 𝑟 est égal à moins un tiers, le premier terme est moins 18. Et le troisième terme est 𝑎 fois 𝑟 au carré, ce qui serait moins 18 fois moins un tiers au carré. Moins un tiers au carré est un sur neuf. Moins 18 fois un sur neuf est moins deux.

Cela s’avère être vraiment intéressant. Nous avons soit moins deux, six, moins 18 ou moins 18, six, moins deux. Avant de continuer, il convient de vérifier pour nous assurer que nous avons tout calculé correctement et que les deux affirmations avec lesquelles nous avons commencé sont vraies avec ces valeurs. Moins deux plus six plus moins 18 égale moins 14. Et parce que nous savons que l’addition est commutative, moins 18 plus six plus moins deux est également égal à moins 14. De la même manière, moins deux fois six fois moins 18 égale 216. Et peu importe si nous changeons d’ordre. La multiplication de ces trois valeurs donne toujours 216. Puisque notre question ne requiert que les nombres consécutifs, moins deux, six, moins 18 ou moins 18, six, moins deux serait une réponse correcte.

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