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Vidéo de question : Déterminer la relation entre les composantes inconnues de deux vecteurs colinéaires Mathématiques

Sachant que 𝑢 = 〈𝑥 ; -19〉, 𝑤 = 〈-19 ; 𝑦〉, et 𝑢∥𝑤, déterminez la relation entre 𝑥 et 𝑦.

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Transcription de vidéo

Sachant que le vecteur 𝑢 égal 𝑥, moins 19 et le vecteur 𝑤 égal moins 19, 𝑦 et que les vecteurs 𝑢 et 𝑤 sont colinéaires, déterminez la relation entre 𝑥 et 𝑦.

On nous donne dans cette question deux vecteurs, le vecteur 𝑢 et le vecteur 𝑤. Et en fait, on nous donne quelques informations sur les vecteurs 𝑢 et 𝑤. Par exemple, on nous dit que 𝑢 et 𝑤 sont colinéaires. Cela est représenté par les deux traits verticales entre nos vecteurs dans la question. On doit utiliser toutes ces informations pour déterminer la relation entre 𝑥 et 𝑦, où 𝑥 et 𝑦 sont donnés comme composantes des vecteurs 𝑢 et 𝑤, respectivement.

Pour cela, il faut commencer par rappeler la définition de deux vecteurs colinéaires. On dit que deux vecteurs sont colinéaires s’ils ont la même direction et le même sens ou bien deux sens opposés. Dans le cas de vecteurs 𝐮 et 𝐯, cela revient à dire qu'il existe un scalaire 𝑘 non nul telle que 𝐮 égale 𝑘 fois 𝐯. Autrement dit, l’un des vecteurs doit être un multiple scalaire non nul de l’autre.

Par conséquent, comme la question nous dit que le vecteur 𝑢 et le vecteur 𝑤 sont colinéaires, on sait que 𝑢 égale 𝑘 fois 𝑤 pour une certaine constante scalaire 𝑘 non nulle. Et on nous donne les composantes de 𝑢 et 𝑤. On peut donc écrire ça dans notre équation. En exprimant les vecteurs 𝑢 et 𝑤 par leurs composantes, on obtient le vecteur 𝑥, moins 19, égal 𝑘 fois le vecteur moins 19, 𝑦.

Rappelez-vous maintenant, lorsque nous multiplions un vecteur par un scalaire, on multiplie chaque composante. Autrement dit, on doit multiplier chaque composante de notre vecteur par 𝑘. Si on multiplie chaque composante de notre vecteur 𝑤 par 𝑘, on obtient le vecteur 𝑥, moins 19 égal au vecteur moins 19𝑘, 𝑘𝑦. Ainsi pour que nos vecteurs 𝑢 et 𝑤 soient colinéaires, il faut que ces deux vecteurs soient égaux.

On peut utiliser cela pour déterminer la valeur de 𝑘. Rappelez-vous, pour que deux vecteurs soient égaux, ils doivent avoir le même nombre de composantes et toutes leurs composantes doivent être égales. Alors, pour que ces deux vecteurs soient égaux, leurs composantes horizontales doivent être égales et leurs composantes verticales doivent être égales. Si on les égalise, on obtient deux équations qui doivent être vraies : 𝑥 doit être égal à moins 19𝑘 et moins 19 doit être égal à 𝑘 fois 𝑦.

On peut réarranger ces deux équations pour déterminer 𝑘. Si on divise notre première équation par moins 19, on obtient 𝑘 égale moins 𝑥 sur 19. En divisant notre deuxième équation par 𝑦, on obtient que 𝑘 devrait être égale à moins 19 sur 𝑦.

Avant de continuer, il y a une chose à mentionner ici. On sait que la valeur de 𝑦 et la valeur de 𝑥 ne peuvent pas être nulles. En effet, si 𝑥 est nul, alors 𝑢 serait suivant la direction verticale. Il n'aurait pas de composante horizontale, donc il ne pourrait pas être colinéaire à 𝑤. Une situation très semblable se produit si 𝑦 est nul. Par conséquent, 𝑥 et 𝑦 ne sont pas nuls. Donc la division par 𝑦 est permise.

On voit maintenant que nous avons deux équations pour la constante 𝑘. Puisque les deux sont égales à 𝑘, on peut les rendre égales. Ainsi, on sait que moins 𝑥 sur 19 est égal à 𝑘 et que moins 19 sur 𝑦 est égal aussi à 𝑘. Donc ces deux-là sont égaux. Et il s'agit en fait d'une relation entre 𝑥 et 𝑦. Mais on peut simplifier encore plus. On peut multiplier par moins 𝑦 et on peut aussi multiplier par 19. En simplifiant, on obtient l'équation suivante : 𝑥 fois 𝑦 égal 361, ce qui est notre réponse finale.

Nous avons donc réussi à montrer que si le vecteur 𝑢 𝑥, moins 19 et le vecteur 𝑤 moins 19, 𝑦 sont colinéaires, alors nous devons avoir 𝑥 fois 𝑦 égale 361.

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