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Vidéo de question : Utiliser les propriétés des droites parallèles pour résoudre des équations Mathématiques

Sur la figure, 𝐴𝐵 = 3𝑥, 𝐵𝐶 = 5𝑥, 𝐷𝐸 = (3𝑥 - 6) et 𝐸𝐹 = (4𝑥 - 3). Déterminez la valeur de 𝑥.

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Transcription de vidéo

Sur la figure, 𝐴𝐵 égale trois 𝑥, 𝐵𝐶 égale cinq 𝑥, 𝐷𝐸 égale trois 𝑥 moins six et 𝐸𝐹 égale quatre 𝑥 moins trois. Déterminez la valeur de 𝑥.

On peut commencer par annoter notre figure. 𝐴𝐵 mesure trois 𝑥. 𝐵𝐶 mesure cinq 𝑥. 𝐷𝐸 mesure trois 𝑥 moins six. Et 𝐸𝐹 mesure quatre 𝑥 moins trois. À présent, si on analyse ce qui se passe sur la figure, on peut voir qu’on a trois droites parallèles qui coupent deux droites sécantes. Et lorsque cela se produit, on sait que les droites parallèles coupent les droites de manière proportionnelle. Cela signifie que 𝐴𝐵 sur 𝐷𝐸 est proportionnel à 𝐵𝐶 sur 𝐸𝐹. On peut remplacer par les valeurs des longueurs que l’on connaît, ce qui nous donne trois 𝑥 sur trois 𝑥 moins six égale cinq 𝑥 sur quatre 𝑥 moins trois. Attention ici: on ne peut pas simplifier par trois, car le dénominateur est égal à trois 𝑥 moins six.

Et comme il n’y a aucune simplification à faire, on va faire un produit en croix pour résoudre l’équation; cela nous donne trois 𝑥 multiplié par quatre 𝑥 moins trois égale cinq 𝑥 multiplié par trois 𝑥 moins six. On peut développer les deux membres pour obtenir 12 𝑥 au carré moins neuf 𝑥 égale 15 𝑥 au carré moins 30𝑥. Il faut qu’on rassemble tous les termes en 𝑥 du même côté, donc on soustrait 12 𝑥 au carré et on additionne neuf 𝑥 des deux côtés. Le membre de gauche est maintenant égal à zéro. Et le membre de droite est égal à trois 𝑥 au carré moins 21𝑥.

On peut simplifier par trois. Pour cela, on divise les deux membres de l’équation par trois pour obtenir zéro égale 𝑥 au carré moins sept 𝑥. Puis on va factoriser par 𝑥. Ainsi, 𝑥 au carré moins sept 𝑥 devient 𝑥 fois 𝑥 moins sept. On va maintenant former deux nouvelles équations en posant que chacun de ces termes est égal à zéro. On a donc 𝑥 égale zéro et 𝑥 moins sept égale zéro. On en déduit que notre équation a deux solutions: 𝑥 égale zéro et 𝑥 égale sept.

On sait cependant qu’on cherche une distance, donc 𝑥 égale zéro n’est pas une solution acceptable et 𝑥 égale sept est donc notre seule solution. Si on le souhaite, on peut calculer la longueur de chacun des segments. On trouve que 𝐴𝐵 égale 21, 𝐵𝐶 égale 35, 𝐷𝐸 égale 15 et 𝐸𝐹 égale 25. On peut aussi vérifier si 21 sur 15 est bien égal à 35 sur 25. 21 divisé par 15 est égal à 1,4. Et 35 divisé par 25 est aussi égal à 1,4, donc la proportion est correcte et 𝑥 est bien égal à sept.

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